Номер 27.10, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.10. Докажите тождество:

1) $ \operatorname{tg} 3\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} 2\alpha \operatorname{tg} 3\alpha; $

2) $ \frac{1}{\operatorname{tg} 3\alpha + \operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{\operatorname{tg} 5\alpha - \operatorname{tg} \alpha} = \sin 2\alpha. $

1)

Докажем тождество $tg3\alpha - tg2\alpha - tg\alpha = tg\alpha \cdot tg2\alpha \cdot tg3\alpha$.

Рассмотрим $tg(3\alpha)$, представив $3\alpha$ в виде суммы $(2\alpha + \alpha)$.

Воспользуемся формулой тангенса суммы углов $tg(A+B) = \frac{tgA + tgB}{1 - tgA \cdot tgB}$.

Применив ее, получим:

$tg(3\alpha) = tg(2\alpha + \alpha) = \frac{tg2\alpha + tg\alpha}{1 - tg2\alpha \cdot tg\alpha}$

Теперь преобразуем это равенство. Умножим обе части на знаменатель $(1 - tg2\alpha \cdot tg\alpha)$, при условии, что он не равен нулю (что необходимо для существования $tg3\alpha$):

$tg3\alpha \cdot (1 - tg2\alpha \cdot tg\alpha) = tg2\alpha + tg\alpha$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$tg3\alpha - tg3\alpha \cdot tg2\alpha \cdot tg\alpha = tg2\alpha + tg\alpha$

Перенесем слагаемые $tg2\alpha$ и $tg\alpha$ в левую часть, а слагаемое с произведением тангенсов - в правую:

$tg3\alpha - tg2\alpha - tg\alpha = tg\alpha \cdot tg2\alpha \cdot tg3\alpha$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество $\frac{1}{tg3\alpha + tg\alpha} - \frac{1}{tg5\alpha - tg\alpha} = \sin2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Для начала, выразим тангенсы через синусы и косинусы, используя формулу $tgx = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Рассмотрим знаменатель первого слагаемого:

$tg3\alpha + tg\alpha = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos \alpha + \cos 3\alpha \sin \alpha}{\cos 3\alpha \cos \alpha}$

Числитель этой дроби соответствует формуле синуса суммы $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$:

$\sin 3\alpha \cos \alpha + \cos 3\alpha \sin \alpha = \sin(3\alpha + \alpha) = \sin 4\alpha$

Тогда первое слагаемое равно:

$\frac{1}{tg3\alpha + tg\alpha} = \frac{1}{\frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha \cos \alpha}} = \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha}$

Теперь рассмотрим знаменатель второго слагаемого:

$tg5\alpha - tg\alpha = \frac{\sin 5\alpha}{\cos 5\alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin 5\alpha \cos \alpha - \cos 5\alpha \sin \alpha}{\cos 5\alpha \cos \alpha}$

Числитель этой дроби соответствует формуле синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$:

$\sin 5\alpha \cos \alpha - \cos 5\alpha \sin \alpha = \sin(5\alpha - \alpha) = \sin 4\alpha$

Тогда второе слагаемое равно:

$\frac{1}{tg5\alpha - tg\alpha} = \frac{1}{\frac{\sin 4\alpha}{\cos 5\alpha \cos \alpha}} = \frac{\cos 5\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha}$

Подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$\frac{\cos 3\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\cos 5\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha - \cos 5\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha}$

Вынесем общий множитель $\cos \alpha$ в числителе:

$\frac{\cos \alpha (\cos 3\alpha - \cos 5\alpha)}{\sin 4\alpha}$

Воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos A - \cos B = -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$.

$\cos 3\alpha - \cos 5\alpha = -2\sin(\frac{3\alpha+5\alpha}{2})\sin(\frac{3\alpha-5\alpha}{2}) = -2\sin(4\alpha)\sin(-\alpha) = 2\sin(4\alpha)\sin(\alpha)$

Подставим это выражение в числитель:

$\frac{\cos \alpha \cdot (2\sin 4\alpha \sin \alpha)}{\sin 4\alpha}$

Сократим дробь на $\sin 4\alpha$ (при условии, что $\sin 4\alpha \neq 0$):

$2\sin \alpha \cos \alpha$

Это выражение является формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.