Номер 27.11, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.11. Докажите тождество:

1) $1 + \sin \alpha + \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$;

2) $\frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} = \operatorname{ctg} 2\alpha.$

1) Для доказательства тождества $1 + \sin\alpha + \cos\alpha = 2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4})$ преобразуем его левую и правую части.

Сначала преобразуем левую часть $1 + \sin\alpha + \cos\alpha$. Сгруппируем слагаемые и применим формулы косинуса двойного угла $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$ и синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$:

$1 + \sin\alpha + \cos\alpha = (1 + \cos\alpha) + \sin\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\alpha}{2}$ за скобки:

$2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

Теперь преобразуем правую часть $2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4})$. Используем формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\pi}{4}$

Зная, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения:

$\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

Подставим полученное выражение обратно в правую часть тождества:

$2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})\right) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

Упростим выражение:

$2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

Так как преобразованные левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos(4\alpha - \frac{\pi}{2})}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos(4\alpha + \frac{3\pi}{2})} = \text{ctg}2\alpha$ упростим левую часть.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения.

Для числителя:
$\cos(4\alpha - 2\pi) = \cos(4\alpha)$ (в силу периодичности функции косинус с периодом $2\pi$).
$\cos(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(4\alpha)$.
Таким образом, числитель принимает вид: $1 + \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)$.

Для знаменателя:
$\cos(4\alpha + \pi) = -\cos(4\alpha)$.
$\cos(4\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin(4\alpha)$.
Таким образом, знаменатель принимает вид: $1 - \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:

$\frac{1 + \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)}{1 - \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)}$

Теперь применим формулы двойного угла для аргумента $2\alpha$: $1 + \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha)$, $1 - \cos(4\alpha) = 2\sin^2(2\alpha)$ и $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$.

$\frac{(1 + \cos(4\alpha)) + \sin(4\alpha)}{(1 - \cos(4\alpha)) + \sin(4\alpha)} = \frac{2\cos^2(2\alpha) + 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{2\sin^2(2\alpha) + 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}$

Вынесем общие множители в числителе ($2\cos(2\alpha)$) и в знаменателе ($2\sin(2\alpha)$):

$\frac{2\cos(2\alpha)(\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha))}{2\sin(2\alpha)(\sin(2\alpha) + \cos(2\alpha))}$

Сократим дробь на общий множитель $2(\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha))$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$

По определению котангенса, $\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \text{ctg}(x)$, следовательно:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \text{ctg}(2\alpha)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.