Страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.8. Докажите тождество:

1) $ \sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \cos \frac{3\alpha}{2}; $

2) $ \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta); $

3) $ \frac{\cos \alpha - \cos 2\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha}{\sin \alpha - \sin 2\alpha - \sin 4\alpha + \sin 5\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha; $

4) $ (\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}; $

5) $ \left( \frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos \alpha} \right) \left( \frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin \alpha} \right) = 4 \operatorname{ctg} \alpha. $

1) Докажите тождество: $ \sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = 4 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\alpha \cos\frac{3\alpha}{2} $

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем первое и второе слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $. Затем используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.

$ \sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = (\sin 3\alpha + \sin \alpha) - \sin 2\alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} - \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha $

Вынесем общий множитель $ \sin 2\alpha $ за скобки:

$ \sin 2\alpha (2 \cos \alpha - 1) $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $ и формулу косинуса двойного угла в виде $ \cos \alpha = 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $, из которой следует $ 2\cos\alpha - 1 = 2(1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2}) - 1 = 1 - 4\sin^2\frac{\alpha}{2} $. Этот путь усложняет.

Попробуем другой способ группировки. Сгруппируем второе и третье слагаемые и применим формулу разности синусов $ \sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $.

$ \sin \alpha + (\sin 3\alpha - \sin 2\alpha) = \sin \alpha + 2 \cos\frac{3\alpha+2\alpha}{2} \sin\frac{3\alpha-2\alpha}{2} = \sin \alpha + 2 \cos\frac{5\alpha}{2} \sin\frac{\alpha}{2} $

Используем формулу синуса двойного угла для $ \sin\alpha = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} $:

$ 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} + 2 \cos\frac{5\alpha}{2} \sin\frac{\alpha}{2} $

Вынесем общий множитель $ 2 \sin\frac{\alpha}{2} $ за скобки:

$ 2 \sin\frac{\alpha}{2} (\cos\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{5\alpha}{2}) $

Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ 2 \sin\frac{\alpha}{2} \left( 2 \cos\frac{\frac{\alpha}{2}+\frac{5\alpha}{2}}{2} \cos\frac{\frac{5\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} \right) = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \left( 2 \cos\frac{3\alpha}{2} \cos\alpha \right) = 4 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\alpha \cos\frac{3\alpha}{2} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ \sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = 4 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\alpha \cos\frac{3\alpha}{2} $.

2) Докажите тождество: $ \sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) $

Преобразуем правую часть тождества, используя формулы синуса суммы и синуса разности:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

Перемножим эти выражения:

$ \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) $

Воспользуемся формулой разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ (\sin\alpha\cos\beta)^2 - (\cos\alpha\sin\beta)^2 = \sin^2\alpha\cos^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $, заменим косинусы на синусы:

$ \sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta $

Раскроем скобки:

$ \sin^2\alpha - \sin^2\alpha\sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta $

Сократим подобные слагаемые:

$ \sin^2\alpha - \sin^2\beta $

Правая часть равна левой, тождество доказано.

Ответ: $ \sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) $.

3) Докажите тождество: $ \frac{\cos\alpha - \cos 2\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha}{\sin\alpha - \sin 2\alpha - \sin 4\alpha + \sin 5\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha $

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

$ \frac{(\cos 5\alpha + \cos\alpha) - (\cos 4\alpha + \cos 2\alpha)}{(\sin 5\alpha + \sin\alpha) - (\sin 4\alpha + \sin 2\alpha)} $

Применим формулы суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $ и суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Для числителя:

$ \cos 5\alpha + \cos\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha}{2} \cos\frac{4\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha $

$ \cos 4\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos\alpha $

Числитель примет вид: $ 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \cos 3\alpha \cos\alpha = 2 \cos 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos\alpha) $.

Для знаменателя:

$ \sin 5\alpha + \sin\alpha = 2 \sin\frac{6\alpha}{2} \cos\frac{4\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha $

$ \sin 4\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\frac{6\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos\alpha $

Знаменатель примет вид: $ 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \sin 3\alpha \cos\alpha = 2 \sin 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos\alpha) $.

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{2 \cos 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos\alpha)}{2 \sin 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos\alpha)} $

Сократим дробь на общий множитель $ 2(\cos 2\alpha - \cos\alpha) $, при условии, что он не равен нулю:

$ \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\cos\alpha - \cos 2\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha}{\sin\alpha - \sin 2\alpha - \sin 4\alpha + \sin 5\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha $.

4) Докажите тождество: $ (\sin\alpha + \sin\beta)^2 + (\cos\alpha + \cos\beta)^2 = 4\cos^2\frac{\alpha - \beta}{2} $

Преобразуем левую часть тождества. Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов к выражениям в скобках:

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Подставим эти выражения в левую часть и возведем в квадрат:

$ \left( 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} \right)^2 + \left( 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} \right)^2 $

$ = 4 \sin^2\frac{\alpha+\beta}{2} \cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} + 4 \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} \cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} $

Вынесем общий множитель $ 4\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} $ за скобки:

$ 4\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} \left( \sin^2\frac{\alpha+\beta}{2} + \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} \right) $

Выражение в скобках равно 1 согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ 4\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} \cdot 1 = 4\cos^2\frac{\alpha - \beta}{2} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ (\sin\alpha + \sin\beta)^2 + (\cos\alpha + \cos\beta)^2 = 4\cos^2\frac{\alpha - \beta}{2} $.

5) Докажите тождество: $ \left(\frac{\sin 4\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos\alpha}\right)\left(\frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin\alpha}\right) = 4\operatorname{ctg}\alpha $

Преобразуем поочередно выражения в каждой из скобок.

Первая скобка:

$ \frac{\sin 4\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin 4\alpha \cos\alpha - \cos 4\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $

В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:

$ \frac{\sin(4\alpha - \alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $, откуда $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2} $:

$ \frac{\sin 3\alpha}{\frac{\sin 2\alpha}{2}} = \frac{2\sin 3\alpha}{\sin 2\alpha} $

Вторая скобка:

$ \frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha + \sin 3\alpha}{\sin 3\alpha \sin\alpha} $

В числителе используем формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ \frac{2 \sin\frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}}{\sin 3\alpha \sin\alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos\alpha}{\sin 3\alpha \sin\alpha} $

Теперь перемножим преобразованные выражения:

$ \left( \frac{2\sin 3\alpha}{\sin 2\alpha} \right) \cdot \left( \frac{2 \sin 2\alpha \cos\alpha}{\sin 3\alpha \sin\alpha} \right) $

Сократим общие множители $ \sin 3\alpha $ и $ \sin 2\alpha $:

$ \frac{2 \cdot 2 \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{4\cos\alpha}{\sin\alpha} = 4\operatorname{ctg}\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ \left(\frac{\sin 4\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos\alpha}\right)\left(\frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin\alpha}\right) = 4\operatorname{ctg}\alpha $.

27.9. Докажите тождество:

1) $ctg 6\alpha - ctg 4\alpha + tg 2\alpha = -ctg 6\alpha ctg 4\alpha tg 2\alpha;$

2) $\frac{1}{tg 3\alpha + tg \alpha} - \frac{1}{ctg 3\alpha + ctg \alpha} = ctg 4\alpha;$

3) $tg \alpha + ctg \alpha + tg 3\alpha + ctg 3\alpha = \frac{8 \cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha}.$

Докажем тождество $ \text{ctg}\,6\alpha - \text{ctg}\,4\alpha + \text{tg}\,2\alpha = -\text{ctg}\,6\alpha\,\text{ctg}\,4\alpha\,\text{tg}\,2\alpha $.

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем первые два слагаемых и представим котангенсы как отношение косинуса к синусу:

$ (\text{ctg}\,6\alpha - \text{ctg}\,4\alpha) + \text{tg}\,2\alpha = \left(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}\right) + \text{tg}\,2\alpha $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{\cos 6\alpha \sin 4\alpha - \sin 6\alpha \cos 4\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha} + \text{tg}\,2\alpha $

В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $:

$ \frac{\sin(4\alpha - 6\alpha)}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha} + \text{tg}\,2\alpha = \frac{-\sin 2\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha} + \text{tg}\,2\alpha $

Теперь представим тангенс как отношение синуса к косинусу и вынесем $ \sin 2\alpha $ за скобки:

$ -\frac{\sin 2\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha} + \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \sin 2\alpha \left(\frac{1}{\cos 2\alpha} - \frac{1}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha}\right) $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ \sin 2\alpha \left(\frac{\sin 6\alpha \sin 4\alpha - \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha \sin 6\alpha \sin 4\alpha}\right) $

Воспользуемся формулой косинуса разности $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
Для $ A=6\alpha $ и $ B=4\alpha $ имеем $ \cos(2\alpha) = \cos(6\alpha-4\alpha) = \cos 6\alpha \cos 4\alpha + \sin 6\alpha \sin 4\alpha $.
Отсюда $ \sin 6\alpha \sin 4\alpha - \cos 2\alpha = \sin 6\alpha \sin 4\alpha - (\cos 6\alpha \cos 4\alpha + \sin 6\alpha \sin 4\alpha) = -\cos 6\alpha \cos 4\alpha $.

Подставим полученное выражение в числитель дроби в скобках:

$ \sin 2\alpha \left(\frac{-\cos 6\alpha \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha \sin 6\alpha \sin 4\alpha}\right) = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \left(-\frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} \cdot \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}\right) $

Заменяя отношения синусов и косинусов на тангенс и котангенсы, получаем:

$ \text{tg}\,2\alpha \cdot (-\text{ctg}\,6\alpha \cdot \text{ctg}\,4\alpha) = -\text{ctg}\,6\alpha\,\text{ctg}\,4\alpha\,\text{tg}\,2\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество $ \frac{1}{\text{tg}\,3\alpha + \text{tg}\,\alpha} - \frac{1}{\text{ctg}\,3\alpha + \text{ctg}\,\alpha} = \text{ctg}\,4\alpha $.

Преобразуем каждое слагаемое в левой части по отдельности. Для первого слагаемого преобразуем знаменатель:

$ \text{tg}\,3\alpha + \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos \alpha + \cos 3\alpha \sin \alpha}{\cos 3\alpha \cos \alpha} $

Используя формулу синуса суммы $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $, получаем:

$ \frac{\sin(3\alpha+\alpha)}{\cos 3\alpha \cos \alpha} = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha \cos \alpha} $

Тогда первое слагаемое равно:

$ \frac{1}{\text{tg}\,3\alpha + \text{tg}\,\alpha} = \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha} $

Аналогично преобразуем знаменатель второго слагаемого:

$ \text{ctg}\,3\alpha + \text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos 3\alpha \sin \alpha + \sin 3\alpha \cos \alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha} = \frac{\sin(3\alpha+\alpha)}{\sin 3\alpha \sin \alpha} = \frac{\sin 4\alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha} $

Тогда второе слагаемое равно:

$ \frac{1}{\text{ctg}\,3\alpha + \text{ctg}\,\alpha} = \frac{\sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 4\alpha} $

Теперь вычтем второе слагаемое из первого:

$ \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha - \sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 4\alpha} $

Числитель является формулой косинуса суммы $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $:

$ \frac{\cos(3\alpha+\alpha)}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \text{ctg}\,4\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество $ \text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha + \text{tg}\,3\alpha + \text{ctg}\,3\alpha = \frac{8\cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha} $.

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$ (\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha) + (\text{tg}\,3\alpha + \text{ctg}\,3\alpha) $

Воспользуемся известным тождеством $ \text{tg}\,x + \text{ctg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2x} = \frac{2}{\sin 2x} $.

Применим это тождество к каждой группе слагаемых:

$ \text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = \frac{2}{\sin 2\alpha} $

$ \text{tg}\,3\alpha + \text{ctg}\,3\alpha = \frac{2}{\sin(2 \cdot 3\alpha)} = \frac{2}{\sin 6\alpha} $

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$ \frac{2}{\sin 2\alpha} + \frac{2}{\sin 6\alpha} = 2\left(\frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 6\alpha}\right) $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ 2\left(\frac{\sin 6\alpha + \sin 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha}\right) $

Для преобразования числителя используем формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $:

$ \sin 6\alpha + \sin 2\alpha = 2\sin\frac{6\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2\sin 4\alpha \cos 2\alpha $

Подставим это в наше выражение:

$ 2\left(\frac{2\sin 4\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha}\right) = \frac{4\sin 4\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha} $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $:

$ \frac{4(2\sin 2\alpha \cos 2\alpha)\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha} $

Сократим $ \sin 2\alpha $ в числителе и знаменателе (при условии $ \sin 2\alpha \ne 0 $):

$ \frac{8\cos 2\alpha \cos 2\alpha}{\sin 6\alpha} = \frac{8\cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

27.10. Докажите тождество:

1) $ \operatorname{tg} 3\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} 2\alpha \operatorname{tg} 3\alpha; $

2) $ \frac{1}{\operatorname{tg} 3\alpha + \operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{\operatorname{tg} 5\alpha - \operatorname{tg} \alpha} = \sin 2\alpha. $

1)

Докажем тождество $tg3\alpha - tg2\alpha - tg\alpha = tg\alpha \cdot tg2\alpha \cdot tg3\alpha$.

Рассмотрим $tg(3\alpha)$, представив $3\alpha$ в виде суммы $(2\alpha + \alpha)$.

Воспользуемся формулой тангенса суммы углов $tg(A+B) = \frac{tgA + tgB}{1 - tgA \cdot tgB}$.

Применив ее, получим:

$tg(3\alpha) = tg(2\alpha + \alpha) = \frac{tg2\alpha + tg\alpha}{1 - tg2\alpha \cdot tg\alpha}$

Теперь преобразуем это равенство. Умножим обе части на знаменатель $(1 - tg2\alpha \cdot tg\alpha)$, при условии, что он не равен нулю (что необходимо для существования $tg3\alpha$):

$tg3\alpha \cdot (1 - tg2\alpha \cdot tg\alpha) = tg2\alpha + tg\alpha$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$tg3\alpha - tg3\alpha \cdot tg2\alpha \cdot tg\alpha = tg2\alpha + tg\alpha$

Перенесем слагаемые $tg2\alpha$ и $tg\alpha$ в левую часть, а слагаемое с произведением тангенсов - в правую:

$tg3\alpha - tg2\alpha - tg\alpha = tg\alpha \cdot tg2\alpha \cdot tg3\alpha$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество $\frac{1}{tg3\alpha + tg\alpha} - \frac{1}{tg5\alpha - tg\alpha} = \sin2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Для начала, выразим тангенсы через синусы и косинусы, используя формулу $tgx = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Рассмотрим знаменатель первого слагаемого:

$tg3\alpha + tg\alpha = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos \alpha + \cos 3\alpha \sin \alpha}{\cos 3\alpha \cos \alpha}$

Числитель этой дроби соответствует формуле синуса суммы $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$:

$\sin 3\alpha \cos \alpha + \cos 3\alpha \sin \alpha = \sin(3\alpha + \alpha) = \sin 4\alpha$

Тогда первое слагаемое равно:

$\frac{1}{tg3\alpha + tg\alpha} = \frac{1}{\frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha \cos \alpha}} = \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha}$

Теперь рассмотрим знаменатель второго слагаемого:

$tg5\alpha - tg\alpha = \frac{\sin 5\alpha}{\cos 5\alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin 5\alpha \cos \alpha - \cos 5\alpha \sin \alpha}{\cos 5\alpha \cos \alpha}$

Числитель этой дроби соответствует формуле синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$:

$\sin 5\alpha \cos \alpha - \cos 5\alpha \sin \alpha = \sin(5\alpha - \alpha) = \sin 4\alpha$

Тогда второе слагаемое равно:

$\frac{1}{tg5\alpha - tg\alpha} = \frac{1}{\frac{\sin 4\alpha}{\cos 5\alpha \cos \alpha}} = \frac{\cos 5\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha}$

Подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$\frac{\cos 3\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\cos 5\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha - \cos 5\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha}$

Вынесем общий множитель $\cos \alpha$ в числителе:

$\frac{\cos \alpha (\cos 3\alpha - \cos 5\alpha)}{\sin 4\alpha}$

Воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos A - \cos B = -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$.

$\cos 3\alpha - \cos 5\alpha = -2\sin(\frac{3\alpha+5\alpha}{2})\sin(\frac{3\alpha-5\alpha}{2}) = -2\sin(4\alpha)\sin(-\alpha) = 2\sin(4\alpha)\sin(\alpha)$

Подставим это выражение в числитель:

$\frac{\cos \alpha \cdot (2\sin 4\alpha \sin \alpha)}{\sin 4\alpha}$

Сократим дробь на $\sin 4\alpha$ (при условии, что $\sin 4\alpha \neq 0$):

$2\sin \alpha \cos \alpha$

Это выражение является формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

27.11. Докажите тождество:

1) $1 + \sin \alpha + \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$;

2) $\frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} = \operatorname{ctg} 2\alpha.$

1) Для доказательства тождества $1 + \sin\alpha + \cos\alpha = 2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4})$ преобразуем его левую и правую части.

Сначала преобразуем левую часть $1 + \sin\alpha + \cos\alpha$. Сгруппируем слагаемые и применим формулы косинуса двойного угла $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$ и синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$:

$1 + \sin\alpha + \cos\alpha = (1 + \cos\alpha) + \sin\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\alpha}{2}$ за скобки:

$2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

Теперь преобразуем правую часть $2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4})$. Используем формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\pi}{4}$

Зная, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения:

$\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

Подставим полученное выражение обратно в правую часть тождества:

$2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})\right) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

Упростим выражение:

$2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

Так как преобразованные левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos(4\alpha - \frac{\pi}{2})}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos(4\alpha + \frac{3\pi}{2})} = \text{ctg}2\alpha$ упростим левую часть.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения.

Для числителя:
$\cos(4\alpha - 2\pi) = \cos(4\alpha)$ (в силу периодичности функции косинус с периодом $2\pi$).
$\cos(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(4\alpha)$.
Таким образом, числитель принимает вид: $1 + \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)$.

Для знаменателя:
$\cos(4\alpha + \pi) = -\cos(4\alpha)$.
$\cos(4\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin(4\alpha)$.
Таким образом, знаменатель принимает вид: $1 - \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:

$\frac{1 + \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)}{1 - \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)}$

Теперь применим формулы двойного угла для аргумента $2\alpha$: $1 + \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha)$, $1 - \cos(4\alpha) = 2\sin^2(2\alpha)$ и $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$.

$\frac{(1 + \cos(4\alpha)) + \sin(4\alpha)}{(1 - \cos(4\alpha)) + \sin(4\alpha)} = \frac{2\cos^2(2\alpha) + 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{2\sin^2(2\alpha) + 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}$

Вынесем общие множители в числителе ($2\cos(2\alpha)$) и в знаменателе ($2\sin(2\alpha)$):

$\frac{2\cos(2\alpha)(\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha))}{2\sin(2\alpha)(\sin(2\alpha) + \cos(2\alpha))}$

Сократим дробь на общий множитель $2(\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha))$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$

По определению котангенса, $\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \text{ctg}(x)$, следовательно:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \text{ctg}(2\alpha)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

27.12. Докажите тождество:

1) $1 - 2\cos\alpha + \cos2\alpha = -4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$;

2) $1 - \sin\alpha - \cos\alpha = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$.

1) $1 - 2\cos\alpha + \cos2\alpha = -4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые и применим формулу двойного угла для косинуса $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

$1 - 2\cos\alpha + \cos2\alpha = (1 + \cos2\alpha) - 2\cos\alpha$

Подставляем формулу двойного угла:

$(1 + 2\cos^2\alpha - 1) - 2\cos\alpha = 2\cos^2\alpha - 2\cos\alpha$

Вынесем общий множитель $2\cos\alpha$ за скобки:

$2\cos\alpha(\cos\alpha - 1)$

Теперь воспользуемся формулой половинного угла для синуса: $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$, из которой следует, что $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.

Тогда выражение в скобках можно записать как $\cos\alpha - 1 = -(1 - \cos\alpha) = -2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.

Подставим это в наше выражение:

$2\cos\alpha \cdot (-2\sin^2\frac{\alpha}{2}) = -4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) $1 - \sin\alpha - \cos\alpha = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Используем основное тригонометрическое тождество и формулы двойного угла, выраженные через аргумент $\frac{\alpha}{2}$:

$1 = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}$

$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

$\cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$1 - \sin\alpha - \cos\alpha = \left(\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}\right) - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} - \left(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} - \cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2} = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Вынесем общий множитель $2\sin\frac{\alpha}{2}$ за скобки:

$2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2}\right)$

Преобразуем выражение в скобках, используя метод введения вспомогательного угла. Умножим и разделим его на $\sqrt{2}$:

$\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\alpha}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$

Поскольку $\cos45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, заменим дроби на тригонометрические функции:

$\sqrt{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}\cos45^\circ - \cos\frac{\alpha}{2}\sin45^\circ\right)$

Применим формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:

$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$

Подставим полученный результат в наше преобразованное выражение:

$2\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right) = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

27.13. Упростите выражение:

1) $\sin^2\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$;

2) $\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$;

3) $\cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha) + \sin 15^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha)$.

1) Упростим выражение $\sin^2\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$.

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$
$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Перемножим эти два выражения, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right)^2 = \frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha$

Сгруппируем подобные слагаемые:
$\left(1 - \frac{3}{4}\right)\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\frac{1}{4}(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

2) Упростим выражение $\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$.

Воспользуемся формулой произведения косинусов $\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2x - \sin^2y$.
Применив ее к последнему члену выражения, получаем:
$\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta$

Подставим это в исходное выражение:
$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - (\cos^2\alpha - \sin^2\beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha + \sin^2\beta = (\cos^2\alpha - \cos^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, получаем:
$0 + 1 = 1$

Ответ: $1$

3) Упростим выражение $\cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha) + \sin15^\circ\sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Рассмотрим первую часть выражения: $\cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha)$.
Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:
$\cos^2(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + \cos(2(45^\circ + \alpha))}{2} = \frac{1 + \cos(90^\circ + 2\alpha)}{2}$
$\cos^2(30^\circ - \alpha) = \frac{1 + \cos(2(30^\circ - \alpha))}{2} = \frac{1 + \cos(60^\circ - 2\alpha)}{2}$

Тогда разность квадратов косинусов равна:
$\frac{1 + \cos(90^\circ + 2\alpha)}{2} - \frac{1 + \cos(60^\circ - 2\alpha)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(90^\circ + 2\alpha) - \cos(60^\circ - 2\alpha))$
Используя формулу приведения $\cos(90^\circ + x) = -\sin x$, получаем:
$\frac{1}{2}(-\sin(2\alpha) - \cos(60^\circ - 2\alpha))$

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $\sin15^\circ\sin(75^\circ - 2\alpha)$.
Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$:
$\sin(75^\circ - 2\alpha)\sin15^\circ = \frac{1}{2}(\cos((75^\circ - 2\alpha) - 15^\circ) - \cos((75^\circ - 2\alpha) + 15^\circ))$
$= \frac{1}{2}(\cos(60^\circ - 2\alpha) - \cos(90^\circ - 2\alpha))$
Используя формулу приведения $\cos(90^\circ - x) = \sin x$, получаем:
$\frac{1}{2}(\cos(60^\circ - 2\alpha) - \sin(2\alpha))$

Сложим обе упрощенные части:
$\frac{1}{2}(-\sin(2\alpha) - \cos(60^\circ - 2\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(60^\circ - 2\alpha) - \sin(2\alpha))$
$= \frac{1}{2}(-\sin(2\alpha) - \cos(60^\circ - 2\alpha) + \cos(60^\circ - 2\alpha) - \sin(2\alpha))$
$= \frac{1}{2}(-2\sin(2\alpha)) = -\sin(2\alpha)$

Ответ: $-\sin(2\alpha)$