Страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.14. Упростите выражение:

1) $\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$

2) $\cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \sin(75^\circ - 2\alpha) \cos75^\circ$

1) Упростим выражение $sin^2\alpha + sin^2\beta + cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta)$.

Воспользуемся формулой произведения косинусов, которая является следствием формул суммы и разности углов: $cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) = cos^2\alpha - sin^2\beta$.

Доказательство этой формулы:

$cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) = (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) = (cos\alpha cos\beta)^2 - (sin\alpha sin\beta)^2$

$= cos^2\alpha cos^2\beta - sin^2\alpha sin^2\beta = cos^2\alpha(1 - sin^2\beta) - (1 - cos^2\alpha)sin^2\beta$

$= cos^2\alpha - cos^2\alpha sin^2\beta - sin^2\beta + cos^2\alpha sin^2\beta = cos^2\alpha - sin^2\beta$.

Подставим полученное тождество в исходное выражение:

$sin^2\alpha + sin^2\beta + (cos^2\alpha - sin^2\beta)$

Раскроем скобки и сократим подобные члены:

$sin^2\alpha + sin^2\beta + cos^2\alpha - sin^2\beta = sin^2\alpha + cos^2\alpha$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Ответ: 1.

2) Упростим выражение $cos^2(45^\circ - \alpha) - cos^2(60^\circ + \alpha) - sin(75^\circ - 2\alpha)cos75^\circ$.

Преобразуем первую часть выражения, используя формулу разности квадратов косинусов: $cos^2A - cos^2B = sin(B-A)sin(B+A)$.

Пусть $A = 45^\circ - \alpha$ и $B = 60^\circ + \alpha$. Найдем $B-A$ и $B+A$:

$B - A = (60^\circ + \alpha) - (45^\circ - \alpha) = 15^\circ + 2\alpha$

$B + A = (60^\circ + \alpha) + (45^\circ - \alpha) = 105^\circ$

Таким образом, $cos^2(45^\circ - \alpha) - cos^2(60^\circ + \alpha) = sin(15^\circ + 2\alpha)sin(105^\circ)$.

Теперь все выражение имеет вид:

$sin(15^\circ + 2\alpha)sin(105^\circ) - sin(75^\circ - 2\alpha)cos75^\circ$

Воспользуемся формулами приведения для упрощения углов. Заметим, что $105^\circ = 180^\circ - 75^\circ$, поэтому $sin(105^\circ) = sin(180^\circ - 75^\circ) = sin(75^\circ)$.

Выражение принимает вид:

$sin(15^\circ + 2\alpha)sin(75^\circ) - sin(75^\circ - 2\alpha)cos75^\circ$

Применим формулы приведения для дополнительных углов ($90^\circ - x$):

$sin(75^\circ) = sin(90^\circ - 15^\circ) = cos(15^\circ)$

$cos(75^\circ) = cos(90^\circ - 15^\circ) = sin(15^\circ)$

$sin(75^\circ - 2\alpha) = sin(90^\circ - (15^\circ + 2\alpha)) = cos(15^\circ + 2\alpha)$

Подставим эти преобразования в выражение:

$sin(15^\circ + 2\alpha)cos(15^\circ) - cos(15^\circ + 2\alpha)sin(15^\circ)$

Полученное выражение является формулой синуса разности: $sin(X - Y) = sinXcosY - cosXsinY$, где $X = 15^\circ + 2\alpha$ и $Y = 15^\circ$.

Следовательно:

$sin((15^\circ + 2\alpha) - 15^\circ) = sin(2\alpha)$

Ответ: $sin(2\alpha)$.

27.15. Докажите равенство $ \text{tg } 30^\circ + \text{tg } 40^\circ + \text{tg } 50^\circ + \text{tg } 60^\circ = \frac{8 \cos 20^\circ}{\sqrt{3}} $

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$ \tg 30^\circ + \tg 40^\circ + \tg 50^\circ + \tg 60^\circ = (\tg 30^\circ + \tg 60^\circ) + (\tg 40^\circ + \tg 50^\circ) $

Теперь вычислим значение каждой группы отдельно.

1. Найдем сумму первой группы, используя известные значения тангенсов:

$ \tg 30^\circ + \tg 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1 + (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \frac{1+3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} $

2. Преобразуем сумму второй группы. Воспользуемся формулой приведения $ \tg(90^\circ - \alpha) = \ctg \alpha $. В нашем случае $ \tg 50^\circ = \tg(90^\circ - 40^\circ) = \ctg 40^\circ $.

Тогда:

$ \tg 40^\circ + \tg 50^\circ = \tg 40^\circ + \ctg 40^\circ $

Представим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ} $

В числителе используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $, из которой следует, что $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha $.

$ \frac{1}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 40^\circ)} = \frac{2}{\sin 80^\circ} $

3. Теперь сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$ (\tg 30^\circ + \tg 60^\circ) + (\tg 40^\circ + \tg 50^\circ) = \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sin 80^\circ} $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{4\sin 80^\circ + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} $

Вспомним, что $ \sqrt{3} = 2\sin 60^\circ $. Подставим это в числитель:

$ \frac{4\sin 80^\circ + 2(2\sin 60^\circ)}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} = \frac{4(\sin 80^\circ + \sin 60^\circ)}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} $

Для суммы синусов в числителе применим формулу $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \sin 80^\circ + \sin 60^\circ = 2\sin\frac{80^\circ+60^\circ}{2}\cos\frac{80^\circ-60^\circ}{2} = 2\sin 70^\circ \cos 10^\circ $

Подставим это обратно в выражение:

$ \frac{4(2\sin 70^\circ \cos 10^\circ)}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} = \frac{8\sin 70^\circ \cos 10^\circ}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} $

Теперь снова воспользуемся формулами приведения:
$ \sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ $
$ \cos 10^\circ = \cos(90^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ $

Подставим эти значения в нашу дробь:

$ \frac{8\cos 20^\circ \sin 80^\circ}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} $

Сокращаем $ \sin 80^\circ $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}} $

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \tg 30^\circ + \tg 40^\circ + \tg 50^\circ + \tg 60^\circ = \frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}} $ доказано.

27.16. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то имеет место тождество:

1) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2};$

2) $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma;$

3) $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2};$

4) $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma;$

5) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma.$

1)
Начнем с левой части тождества и преобразуем ее, используя тригонометрические формулы.
$\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma$
Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$(\sin\alpha + \sin\beta) + \sin\gamma = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin\gamma$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin\gamma = 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$:
$2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, и $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.
Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, получаем:
$\sin\frac{\alpha+\beta}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}) = \cos\frac{\gamma}{2}$
Подставим это в наше выражение:
$2\cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\gamma}{2}$ за скобки:
$2\cos\frac{\gamma}{2}(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin\frac{\gamma}{2})$
Теперь преобразуем $\sin\frac{\gamma}{2}$. Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$ следует $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}$.
Снова используем формулу приведения: $\sin\frac{\gamma}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}) = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставим это в скобки:
$2\cos\frac{\gamma}{2}(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2})$
К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = 2\cos\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\cos\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2} = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos(-\frac{\beta}{2}) = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}$
Подставляем результат в наше основное выражение:
$2\cos\frac{\gamma}{2} \cdot (2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}) = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$

2)
Преобразуем левую часть тождества.
$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma$
Применим формулу суммы синусов к первым двум слагаемым:
$(\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \sin 2\gamma = 2\sin\frac{2\alpha+2\beta}{2}\cos\frac{2\alpha-2\beta}{2} + \sin 2\gamma = 2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + 2\sin\gamma\cos\gamma$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha + \beta = \pi - \gamma$.
Поэтому $\sin(\alpha+\beta) = \sin(\pi - \gamma) = \sin\gamma$.
Подставим это в выражение:
$2\sin\gamma\cos(\alpha-\beta) + 2\sin\gamma\cos\gamma$
Вынесем за скобки $2\sin\gamma$:
$2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta) + \cos\gamma)$
Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, поэтому $\cos\gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Подставим в скобки:
$2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$
Используем формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = -2\sin\frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2} = -2\sin\alpha\sin(-\beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$
Подставим результат в наше основное выражение:
$2\sin\gamma \cdot (2\sin\alpha\sin\beta) = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$
Тождество доказано.
Ответ: $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$

3)
Преобразуем левую часть тождества.
$\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma$
Применим формулу суммы косинусов к первым двум слагаемым:
$(\cos\alpha + \cos\beta) + \cos\gamma = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\gamma$
Используем формулу косинуса двойного угла в виде $\cos\gamma = 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$:
$2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.
По формуле приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$, получаем:
$\cos\frac{\alpha+\beta}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}) = \sin\frac{\gamma}{2}$
Подставим это в выражение:
$1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$
Вынесем за скобки $2\sin\frac{\gamma}{2}$:
$1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \sin\frac{\gamma}{2})$
Из условия $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}$, тогда $\sin\frac{\gamma}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}) = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставим это в скобки:
$1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2})$
К выражению в скобках применим формулу разности косинусов:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = -2\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2} = -2\sin\frac{\alpha}{2}\sin(-\frac{\beta}{2}) = 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$
Подставляем результат в наше основное выражение:
$1 + 2\sin\frac{\gamma}{2} \cdot (2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}) = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$
Тождество доказано.
Ответ: $\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}$

4)
Рассмотрим левую часть тождества.
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$
Применим формулу суммы косинусов:
$(\cos 2\alpha + \cos 2\beta) + \cos 2\gamma = 2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + \cos 2\gamma$
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\gamma = 2\cos^2\gamma - 1$:
$2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + 2\cos^2\gamma - 1$
Из условия $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, тогда $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos\gamma$.
Подставляем:
$-1 + 2(-\cos\gamma)\cos(\alpha-\beta) + 2\cos^2\gamma = -1 - 2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta) + 2\cos^2\gamma$
Вынесем за скобки $-2\cos\gamma$:
$-1 - 2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) - \cos\gamma)$
Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, тогда $\cos\gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Подставим в скобки:
$-1 - 2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) - (-\cos(\alpha+\beta))) = -1 - 2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$
Применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:
$\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta) = 2\cos\frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2} = 2\cos\alpha\cos(-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$
Подставим результат в наше основное выражение:
$-1 - 2\cos\gamma \cdot (2\cos\alpha\cos\beta) = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$
Тождество доказано.
Ответ: $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$

5)
Преобразуем левую часть тождества.
$\sin^2\alpha + \sin^2\beta - \sin^2\gamma$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$.
Поэтому $\sin\gamma = \sin(\pi - (\alpha+\beta)) = \sin(\alpha+\beta)$.
Подставим это в выражение:
$\sin^2\alpha + \sin^2\beta - \sin^2(\alpha+\beta)$
Раскроем синус суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
$\sin^2\alpha + \sin^2\beta - (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)^2$
$\sin^2\alpha + \sin^2\beta - (\sin^2\alpha\cos^2\beta + 2\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta + \cos^2\alpha\sin^2\beta)$
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\beta) + (\sin^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta) - 2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta$
Вынесем общие множители:
$\sin^2\alpha(1 - \cos^2\beta) + \sin^2\beta(1 - \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta$
Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2x = \sin^2x$:
$\sin^2\alpha\sin^2\beta + \sin^2\beta\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta$
$2\sin^2\alpha\sin^2\beta - 2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta$
Вынесем за скобки $2\sin\alpha\sin\beta$:
$2\sin\alpha\sin\beta(\sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\cos\beta)$
Выражение в скобках равно $-(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Получаем:
$2\sin\alpha\sin\beta(-\cos(\alpha+\beta))$
Так как $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, то $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos\gamma$.
Подставим это в выражение:
$2\sin\alpha\sin\beta(-(-\cos\gamma)) = 2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma$
Тождество доказано.
Ответ: $\sin^2\alpha + \sin^2\beta - \sin^2\gamma = 2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma$

27.17. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$, то имеет место тождество:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 2 + 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы и заданное условие $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$.

Начнем с левой части равенства:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma$

Применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ для первых двух слагаемых:

$\frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 + \cos(2\beta)}{2} + \cos^2\gamma = 1 + \frac{\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)}{2} + \cos^2\gamma$

Теперь используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$1 + \frac{2\cos(\frac{2\alpha+2\beta}{2})\cos(\frac{2\alpha-2\beta}{2})}{2} + \cos^2\gamma = 1 + \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + \cos^2\gamma$

Из условия задачи $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$ следует, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \gamma$.

Используя формулу приведения, находим $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin\gamma$.

Подставим полученное выражение в наше равенство:

$1 + \sin\gamma \cdot \cos(\alpha-\beta) + \cos^2\gamma$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2\gamma = 1 - \sin^2\gamma$:

$1 + \sin\gamma \cos(\alpha-\beta) + (1 - \sin^2\gamma) = 2 + \sin\gamma \cos(\alpha-\beta) - \sin^2\gamma$

Вынесем $\sin\gamma$ за скобки:

$2 + \sin\gamma (\cos(\alpha-\beta) - \sin\gamma)$

Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$ также следует, что $\gamma = \frac{\pi}{2} - (\alpha+\beta)$, и, следовательно, $\sin\gamma = \sin(\frac{\pi}{2} - (\alpha+\beta)) = \cos(\alpha+\beta)$.

Подставим это в выражение в скобках:

$2 + \sin\gamma (\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$

Теперь воспользуемся формулой разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = -2\sin\frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2} = -2\sin\alpha\sin(-\beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$

Подставив это обратно, получаем:

$2 + \sin\gamma (2\sin\alpha\sin\beta) = 2 + 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна его правой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

27.18. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то имеет место тождество:

1) $\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = -4\sin 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma$;

2) $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2}$;

3) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.

1) Докажем тождество $\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = -4\sin 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma$, используя условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ), применив к первым двум слагаемым формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
ЛЧ = $(\sin 4\alpha + \sin 4\beta) + \sin 4\gamma = 2\sin\frac{4\alpha+4\beta}{2}\cos\frac{4\alpha-4\beta}{2} + \sin 4\gamma = 2\sin(2\alpha+2\beta)\cos(2\alpha-2\beta) + \sin 4\gamma$.
Из условия $\alpha+\beta+\gamma = \pi$ следует, что $2\alpha+2\beta+2\gamma = 2\pi$, откуда $2\alpha+2\beta = 2\pi - 2\gamma$.
Используя это, находим $\sin(2\alpha+2\beta) = \sin(2\pi-2\gamma) = -\sin(2\gamma)$.
Подставим полученное выражение в левую часть:
ЛЧ = $2(-\sin 2\gamma)\cos(2\alpha-2\beta) + \sin 4\gamma$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 4\gamma = 2\sin 2\gamma \cos 2\gamma$:
ЛЧ = $-2\sin 2\gamma\cos(2\alpha-2\beta) + 2\sin 2\gamma\cos 2\gamma$.
Вынесем за скобки общий множитель $2\sin 2\gamma$:
ЛЧ = $2\sin 2\gamma(\cos 2\gamma - \cos(2\alpha-2\beta))$.
Из соотношения $2\gamma = 2\pi - (2\alpha+2\beta)$ следует, что $\cos 2\gamma = \cos(2\pi - (2\alpha+2\beta)) = \cos(2\alpha+2\beta)$.
Тогда выражение в скобках становится $\cos(2\alpha+2\beta) - \cos(2\alpha-2\beta)$.
Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\cos(2\alpha+2\beta) - \cos(2\alpha-2\beta) = -2\sin\frac{2\alpha+2\beta+2\alpha-2\beta}{2}\sin\frac{2\alpha+2\beta-(2\alpha-2\beta)}{2} = -2\sin(2\alpha)\sin(2\beta)$.
Подставляя это обратно, получаем:
ЛЧ = $2\sin 2\gamma(-2\sin 2\alpha\sin 2\beta) = -4\sin 2\alpha\sin 2\beta\sin 2\gamma$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \gamma}{2}\cos\frac{\beta + \gamma}{2}$, используя условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ), используя формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
ЛЧ = $(\cos \alpha + \cos \beta) + \cos \gamma = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos \gamma$.
Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, тогда $\cos\gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, получаем $\cos(\alpha+\beta) = 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1$.
Следовательно, $\cos\gamma = -(2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1) = 1 - 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставим это в выражение для ЛЧ:
ЛЧ = $2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 1 - 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Вынесем за скобки $2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
ЛЧ = $1 + 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.
Применим к выражению в скобках формулу разности косинусов:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = -2\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2} = -2\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(-\frac{\beta}{2}) = 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$.
Таким образом, ЛЧ = $1 + 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\left(2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\right) = 1 + 4\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$.
Теперь преобразуем правую часть (ПЧ), используя условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$:
$\frac{\alpha+\gamma}{2} = \frac{\pi-\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2} \Rightarrow \cos\frac{\alpha+\gamma}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2}) = \sin\frac{\beta}{2}$.
$\frac{\beta+\gamma}{2} = \frac{\pi-\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \cos\frac{\beta+\gamma}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{\alpha}{2}$.
Подставим это в правую часть:
ПЧ = $1 + 4\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right) = 1 + 4\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$.
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$, используя условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ). Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, следует $\cos\gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Тогда $\cos^2\gamma = (-\cos(\alpha+\beta))^2 = \cos^2(\alpha+\beta)$.
ЛЧ = $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2(\alpha+\beta)$.
Используем тождество $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$:
ЛЧ = $\cos^2 \alpha + 1 - \sin^2 \beta + \cos^2(\alpha+\beta) = 1 + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta) + \cos^2(\alpha+\beta)$.
Применим формулу разности квадратов косинуса и синуса $\cos^2 x - \sin^2 y = \cos(x+y)\cos(x-y)$:
ЛЧ = $1 + \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + \cos^2(\alpha+\beta)$.
Вынесем за скобки $\cos(\alpha+\beta)$:
ЛЧ = $1 + \cos(\alpha+\beta)\left(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right)$.
Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов:
$\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta) = 2\cos\frac{\alpha-\beta+\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta-(\alpha+\beta)}{2} = 2\cos\alpha\cos(-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$.
Подставим результат в выражение для ЛЧ:
ЛЧ = $1 + \cos(\alpha+\beta)(2\cos\alpha\cos\beta)$.
Вспомним, что $\cos(\alpha+\beta) = -\cos\gamma$:
ЛЧ = $1 + (-\cos\gamma)(2\cos\alpha\cos\beta) = 1 - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

27.19. Докажите равенство:

1) $ \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2} $;

2) $ \sin10^{\circ} + \sin20^{\circ} + \dots + \sin50^{\circ} = \frac{\sin25^{\circ}}{2\sin5^{\circ}} $.

1) Докажем равенство $\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2}$.
Обозначим левую часть равенства как $S$: $S = \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7}$.
Умножим обе части этого выражения на $2\sin\frac{\pi}{7}$. Так как $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$, это является равносильным преобразованием. $2S\sin\frac{\pi}{7} = 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}$.
Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.
Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части:
$2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{2\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}$.
$2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{4\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{4\pi}{7}) = \sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7}$.
$2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{6\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{6\pi}{7}) = \sin\frac{7\pi}{7} - \sin\frac{5\pi}{7} = \sin\pi - \sin\frac{5\pi}{7}$.
Теперь сложим полученные выражения: $2S\sin\frac{\pi}{7} = (\sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}) + (\sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7}) + (\sin\pi - \sin\frac{5\pi}{7})$.
Слагаемые $\sin\frac{3\pi}{7}$ и $\sin\frac{5\pi}{7}$ взаимно уничтожаются (получается телескопическая сумма): $2S\sin\frac{\pi}{7} = \sin\pi - \sin\frac{\pi}{7}$.
Так как $\sin\pi = 0$, получаем: $2S\sin\frac{\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7}$.
Разделим обе части на $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$: $2S = -1$, откуда $S = -\frac{1}{2}$.
Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна $-\frac{1}{2}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем равенство $\sin10^\circ + \sin20^\circ + \dots + \sin50^\circ = \frac{\sin25^\circ}{2\sin5^\circ}$.
Запишем сумму полностью и обозначим ее как $S$: $S = \sin10^\circ + \sin20^\circ + \sin30^\circ + \sin40^\circ + \sin50^\circ$.
Умножим обе части этого выражения на $2\sin5^\circ$. Так как $\sin5^\circ \neq 0$, это является равносильным преобразованием. $2S\sin5^\circ = 2\sin5^\circ\sin10^\circ + 2\sin5^\circ\sin20^\circ + 2\sin5^\circ\sin30^\circ + 2\sin5^\circ\sin40^\circ + 2\sin5^\circ\sin50^\circ$.
Воспользуемся формулой произведения синусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.
Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части:
$2\sin5^\circ\sin10^\circ = \cos(10^\circ-5^\circ) - \cos(10^\circ+5^\circ) = \cos5^\circ - \cos15^\circ$.
$2\sin5^\circ\sin20^\circ = \cos(20^\circ-5^\circ) - \cos(20^\circ+5^\circ) = \cos15^\circ - \cos25^\circ$.
$2\sin5^\circ\sin30^\circ = \cos(30^\circ-5^\circ) - \cos(30^\circ+5^\circ) = \cos25^\circ - \cos35^\circ$.
$2\sin5^\circ\sin40^\circ = \cos(40^\circ-5^\circ) - \cos(40^\circ+5^\circ) = \cos35^\circ - \cos45^\circ$.
$2\sin5^\circ\sin50^\circ = \cos(50^\circ-5^\circ) - \cos(50^\circ+5^\circ) = \cos45^\circ - \cos55^\circ$.
Теперь сложим полученные выражения: $2S\sin5^\circ = (\cos5^\circ - \cos15^\circ) + (\cos15^\circ - \cos25^\circ) + (\cos25^\circ - \cos35^\circ) + (\cos35^\circ - \cos45^\circ) + (\cos45^\circ - \cos55^\circ)$.
Это телескопическая сумма, в которой промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $2S\sin5^\circ = \cos5^\circ - \cos55^\circ$.
Воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}$.
$ \cos5^\circ - \cos55^\circ = 2\sin\frac{5^\circ+55^\circ}{2}\sin\frac{55^\circ-5^\circ}{2} = 2\sin\frac{60^\circ}{2}\sin\frac{50^\circ}{2} = 2\sin30^\circ\sin25^\circ$.
Подставим это в наше уравнение: $2S\sin5^\circ = 2\sin30^\circ\sin25^\circ$.
Так как $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем: $2S\sin5^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin25^\circ = \sin25^\circ$.
Разделим обе части на $2\sin5^\circ \neq 0$: $S = \frac{\sin25^\circ}{2\sin5^\circ}$.
Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

27.20. Докажите равенство $\cos \frac{\pi}{19} + \cos \frac{3\pi}{19} + \ldots + \cos \frac{17\pi}{19} = \frac{1}{2}$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом суммирования тригонометрических рядов. Обозначим искомую сумму буквой $S$:

$S = \cos\frac{\pi}{19} + \cos\frac{3\pi}{19} + \ldots + \cos\frac{17\pi}{19}$

Заметим, что аргументы косинусов представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом $\alpha = \frac{\pi}{19}$ и разностью $d = \frac{2\pi}{19}$.

Умножим левую и правую части равенства на $2\sin\frac{d}{2} = 2\sin\frac{\pi}{19}$. Поскольку $\frac{\pi}{19}$ не кратно $\pi$, то $\sin\frac{\pi}{19} \neq 0$, и такое умножение является корректным.

$2S \cdot \sin\frac{\pi}{19} = 2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} + 2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} + \ldots + 2\cos\frac{17\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}$

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой произведения косинуса на синус: $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$. Применим её к каждому слагаемому в правой части:

• $2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin\left(\frac{\pi}{19}+\frac{\pi}{19}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{19}-\frac{\pi}{19}\right) = \sin\frac{2\pi}{19} - \sin 0$
• $2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin\left(\frac{3\pi}{19}+\frac{\pi}{19}\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{19}-\frac{\pi}{19}\right) = \sin\frac{4\pi}{19} - \sin\frac{2\pi}{19}$
• $2\cos\frac{5\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin\left(\frac{5\pi}{19}+\frac{\pi}{19}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{19}-\frac{\pi}{19}\right) = \sin\frac{6\pi}{19} - \sin\frac{4\pi}{19}$
• ...
• $2\cos\frac{17\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin\left(\frac{17\pi}{19}+\frac{\pi}{19}\right) - \sin\left(\frac{17\pi}{19}-\frac{\pi}{19}\right) = \sin\frac{18\pi}{19} - \sin\frac{16\pi}{19}$

Подставим полученные выражения обратно в сумму. Мы получим так называемую "телескопическую сумму", в которой большинство слагаемых взаимно уничтожаются.

$2S \sin\frac{\pi}{19} = (\sin\frac{2\pi}{19} - \sin 0) + (\sin\frac{4\pi}{19} - \sin\frac{2\pi}{19}) + (\sin\frac{6\pi}{19} - \sin\frac{4\pi}{19}) + \ldots + (\sin\frac{18\pi}{19} - \sin\frac{16\pi}{19})$

После сокращения пар слагаемых с противоположными знаками (например, $\sin\frac{2\pi}{19}$ и $-\sin\frac{2\pi}{19}$, $\sin\frac{4\pi}{19}$ и $-\sin\frac{4\pi}{19}$ и т.д.) в выражении останутся только первый и последний члены:

$2S \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{18\pi}{19} - \sin 0$

Поскольку $\sin 0 = 0$, имеем:

$2S \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{18\pi}{19}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ для упрощения $\sin\frac{18\pi}{19}$:

$\sin\frac{18\pi}{19} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{19}\right) = \sin\frac{\pi}{19}$

Подставим это значение в наше уравнение:

$2S \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{\pi}{19}$

Разделим обе части на $\sin\frac{\pi}{19}$ (мы уже установили, что это значение не равно нулю):

$2S = 1$

$S = \frac{1}{2}$

Таким образом, мы доказали, что $\cos\frac{\pi}{19} + \cos\frac{3\pi}{19} + \ldots + \cos\frac{17\pi}{19} = \frac{1}{2}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

27.21. Вычислите сумму $S = \frac{1}{\sin \alpha \sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 2\alpha \sin 3\alpha} + \dots + \frac{1}{\sin (n-1)\alpha \sin n\alpha}$.

Для вычисления данной суммы воспользуемся методом телескопических сумм. Общий член ряда имеет вид: $a_k = \frac{1}{\sin(k\alpha) \sin((k+1)\alpha)}$, где $k$ изменяется от 1 до $n-1$.

Ключевая идея состоит в том, чтобы представить каждый член суммы в виде разности двух последовательных членов некоторой другой последовательности. Для этого домножим числитель и знаменатель $a_k$ на $\sin\alpha$ и воспользуемся формулой синуса разности для $\sin\alpha = \sin((k+1)\alpha - k\alpha)$.

$\sin\alpha = \sin((k+1)\alpha - k\alpha) = \sin((k+1)\alpha)\cos(k\alpha) - \cos((k+1)\alpha)\sin(k\alpha)$.

Преобразуем общий член $a_k$:$a_k = \frac{1}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin(k\alpha) \sin((k+1)\alpha)} = \frac{1}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin((k+1)\alpha)\cos(k\alpha) - \cos((k+1)\alpha)\sin(k\alpha)}{\sin(k\alpha) \sin((k+1)\alpha)}$.

Разделим полученную дробь на две части:$a_k = \frac{1}{\sin\alpha} \left( \frac{\sin((k+1)\alpha)\cos(k\alpha)}{\sin(k\alpha) \sin((k+1)\alpha)} - \frac{\cos((k+1)\alpha)\sin(k\alpha)}{\sin(k\alpha) \sin((k+1)\alpha)} \right)$.

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе каждой дроби, получим:$a_k = \frac{1}{\sin\alpha} \left( \frac{\cos(k\alpha)}{\sin(k\alpha)} - \frac{\cos((k+1)\alpha)}{\sin((k+1)\alpha)} \right)$.

Используя определение котангенса $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, запишем выражение для $a_k$ в более компактном виде:$a_k = \frac{1}{\sin\alpha} (\cot(k\alpha) - \cot((k+1)\alpha))$.

Теперь вся сумма $S$ представляет собой телескопическую сумму:$S = \sum_{k=1}^{n-1} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sin\alpha} (\cot(k\alpha) - \cot((k+1)\alpha))$.

Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{\sin\alpha}$ за скобки и распишем сумму:$S = \frac{1}{\sin\alpha} \big[ (\cot\alpha - \cot(2\alpha)) + (\cot(2\alpha) - \cot(3\alpha)) + \dots + (\cot((n-1)\alpha) - \cot(n\alpha)) \big]$.

Все промежуточные слагаемые в этой сумме взаимно уничтожаются. Остаются только первое и последнее слагаемое:$S = \frac{1}{\sin\alpha} (\cot\alpha - \cot(n\alpha))$.

Для получения окончательного ответа упростим это выражение. Перейдем от котангенсов к синусам и косинусам и приведем дроби к общему знаменателю:$S = \frac{1}{\sin\alpha} \left( \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)} \right) = \frac{1}{\sin\alpha} \left( \frac{\sin(n\alpha)\cos\alpha - \cos(n\alpha)\sin\alpha}{\sin\alpha \sin(n\alpha)} \right)$.

Выражение в числителе скобок является формулой синуса разности $\sin(n\alpha - \alpha) = \sin((n-1)\alpha)$. Подставим его обратно в формулу для $S$:$S = \frac{1}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin((n-1)\alpha)}{\sin\alpha \sin(n\alpha)} = \frac{\sin((n-1)\alpha)}{\sin^2\alpha \sin(n\alpha)}$.

Ответ: $S = \frac{\sin((n-1)\alpha)}{\sin^2\alpha \sin n\alpha}$.

27.22. Вычислите сумму $S = \frac{1}{\sin 1 \sin 3} + \frac{1}{\sin 3 \sin 5} + \dots + \frac{1}{\sin(2n - 1)\sin(2n + 1)}.$

Данная сумма представляет собой конечный ряд, который можно записать с использованием знака суммирования:

$$ S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)} $$

Для вычисления этой суммы мы преобразуем общий член ряда $a_k = \frac{1}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)}$.

Заметим, что разность аргументов синусов в знаменателе является постоянной величиной: $(2k+1) - (2k-1) = 2$. Это наводит на мысль использовать тригонометрическую формулу синуса разности. Умножим и разделим общий член ряда на $\sin 2$:

$$ a_k = \frac{1}{\sin 2} \cdot \frac{\sin 2}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)} $$

Теперь представим $\sin 2$ в числителе, используя разность аргументов: $\sin 2 = \sin((2k+1) - (2k-1))$.

Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$$ \sin((2k+1) - (2k-1)) = \sin(2k+1)\cos(2k-1) - \cos(2k+1)\sin(2k-1) $$

Подставим это выражение обратно в формулу для $a_k$:

$$ a_k = \frac{1}{\sin 2} \cdot \frac{\sin(2k+1)\cos(2k-1) - \cos(2k+1)\sin(2k-1)}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)} $$

Разделим дробь на две части:

$$ a_k = \frac{1}{\sin 2} \left( \frac{\sin(2k+1)\cos(2k-1)}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)} - \frac{\cos(2k+1)\sin(2k-1)}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)} \right) $$

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе каждой дроби получаем:

$$ a_k = \frac{1}{\sin 2} \left( \frac{\cos(2k-1)}{\sin(2k-1)} - \frac{\cos(2k+1)}{\sin(2k+1)} \right) $$

Используя определение котангенса $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, мы можем записать $a_k$ в виде:

$$ a_k = \frac{1}{\sin 2} (\cot(2k-1) - \cot(2k+1)) $$

Теперь исходная сумма $S$ становится телескопической суммой. Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{\sin 2}$ за знак суммы:

$$ S = \frac{1}{\sin 2} \sum_{k=1}^{n} (\cot(2k-1) - \cot(2k+1)) $$

Распишем слагаемые этой суммы для нескольких первых и последнего значения $k$:

Для $k=1$: $\cot(1) - \cot(3)$

Для $k=2$: $\cot(3) - \cot(5)$

Для $k=3$: $\cot(5) - \cot(7)$

...

Для $k=n$: $\cot(2n-1) - \cot(2n+1)$

При сложении всех этих слагаемых все промежуточные члены взаимно уничтожаются (например, $-\cot 3$ из первого слагаемого и $+\cot 3$ из второго). В результате остаются только первый член от первого слагаемого и последний член от последнего слагаемого:

$$ S = \frac{1}{\sin 2} [(\cot 1 - \cot 3) + (\cot 3 - \cot 5) + \dots + (\cot(2n-1) - \cot(2n+1))] $$

$$ S = \frac{1}{\sin 2} (\cot 1 - \cot(2n+1)) $$

Для упрощения этого выражения представим котангенсы через синусы и косинусы и приведем к общему знаменателю:

$$ \cot 1 - \cot(2n+1) = \frac{\cos 1}{\sin 1} - \frac{\cos(2n+1)}{\sin(2n+1)} = \frac{\sin(2n+1)\cos 1 - \cos(2n+1)\sin 1}{\sin 1 \sin(2n+1)} $$

Числитель этой дроби снова является формулой синуса разности для углов $(2n+1)$ и $1$:

$$ \sin(2n+1)\cos 1 - \cos(2n+1)\sin 1 = \sin((2n+1) - 1) = \sin(2n) $$

Подставим полученное выражение обратно в формулу для суммы $S$:

$$ S = \frac{1}{\sin 2} \cdot \frac{\sin(2n)}{\sin 1 \sin(2n+1)} $$

Окончательно получаем:

$$ S = \frac{\sin(2n)}{\sin 1 \sin 2 \sin(2n+1)} $$

Ответ: $S = \frac{\sin(2n)}{\sin 1 \sin 2 \sin(2n+1)}$

27.23. Вычислите сумму $S = \frac{1}{2}\text{tg}\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\text{tg}\frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}}\text{tg}\frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^n}\text{tg}\frac{1}{2^n}$.

27.23. Для вычисления данной суммы воспользуемся тригонометрическим тождеством $\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{ctg} \alpha - 2\operatorname{ctg}(2\alpha)$. Докажем это тождество, преобразовав его правую часть с использованием формул двойного угла:

$\operatorname{ctg} \alpha - 2\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - 2\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - 2\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$.

Тождество доказано.

Искомая сумма $S$ представляет собой сумму $n$ членов, $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}\operatorname{tg}\frac{1}{2^k}$. Общий член ряда равен $a_k = \frac{1}{2^k}\operatorname{tg}\frac{1}{2^k}$.

Применим доказанное тождество к $a_k$, положив $\alpha = \frac{1}{2^k}$. Тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^{k-1}}$. Получаем:

$\operatorname{tg}\frac{1}{2^k} = \operatorname{ctg}\frac{1}{2^k} - 2\operatorname{ctg}\frac{1}{2^{k-1}}$.

Умножим обе части равенства на $\frac{1}{2^k}$, чтобы получить выражение для $a_k$:

$a_k = \frac{1}{2^k}\operatorname{tg}\frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^k}\left(\operatorname{ctg}\frac{1}{2^k} - 2\operatorname{ctg}\frac{1}{2^{k-1}}\right) = \frac{1}{2^k}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^k} - \frac{2}{2^k}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^{k-1}} = \frac{1}{2^k}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^k} - \frac{1}{2^{k-1}}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^{k-1}}$.

Это выражение имеет вид $F(k) - F(k-1)$, где $F(k) = \frac{1}{2^k}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^k}$. Следовательно, сумма является телескопической:

$S = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (F(k) - F(k-1))$.

Распишем сумму:

$S = (F(1) - F(0)) + (F(2) - F(1)) + (F(3) - F(2)) + \dots + (F(n) - F(n-1))$.

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются, и сумма сворачивается к разности последнего и первого членов:

$S = F(n) - F(0)$.

Теперь вычислим значения $F(n)$ и $F(0)$:

$F(n) = \frac{1}{2^n}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^n}$.

$F(0) = \frac{1}{2^0}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^0} = 1 \cdot \operatorname{ctg}(1) = \operatorname{ctg}(1)$.

Подставляя эти значения, находим окончательное выражение для суммы:

$S = \frac{1}{2^n}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^n} - \operatorname{ctg}(1)$.

Ответ: $S = \frac{1}{2^n}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^n} - \operatorname{ctg}(1)$.

27.24. Докажите равенство

$\cos\frac{2\pi}{n} + \cos\frac{4\pi}{n} + \dots + \cos\frac{2(n-1)\pi}{n} + \cos\frac{2n\pi}{n} = 0$

Обозначим левую часть доказываемого равенства через $S$:

$S = \cos\frac{2\pi}{n} + \cos\frac{4\pi}{n} + \dots + \cos\frac{2(n-1)\pi}{n} + \cos\frac{2n\pi}{n}$

Эту сумму можно записать в компактной форме с помощью знака суммирования:

$S = \sum_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$

Для доказательства воспользуемся комплексными числами. Согласно формуле Эйлера, $e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi$. Отсюда следует, что косинус является действительной частью (real part) комплексной экспоненты: $\cos\phi = \text{Re}(e^{i\phi})$.

Применив это к каждому слагаемому, мы можем представить сумму $S$ как действительную часть суммы комплексных чисел:

$S = \sum_{k=1}^{n} \text{Re}\left(e^{i \frac{2k\pi}{n}}\right) = \text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n} e^{i \frac{2k\pi}{n}}\right)$

Рассмотрим сумму комплексных чисел $Z = \sum_{k=1}^{n} e^{i \frac{2k\pi}{n}}$. Эта сумма представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии. Если мы обозначим $q = e^{i \frac{2\pi}{n}}$, то члены прогрессии будут $q^1, q^2, \dots, q^n$.

Первый член этой прогрессии $a_1 = q$, знаменатель также равен $q$, а количество членов равно $n$. Сумма $n$ членов геометрической прогрессии находится по формуле $S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Эта формула применима при условии, что знаменатель $q \ne 1$. В нашем случае $q = e^{i \frac{2\pi}{n}}$. Равенство $q=1$ выполняется только тогда, когда $\frac{2\pi}{n}$ является целым кратным $2\pi$, что возможно только при $n=1$. Однако из вида суммы следует, что $n \ge 2$ (иначе сумма состояла бы из одного члена $\cos(2\pi)=1$, и доказываемое равенство было бы неверным). При $n \ge 2$ знаменатель $q \ne 1$, и мы можем использовать формулу.

Найдем значение $q^n$:

$q^n = \left(e^{i \frac{2\pi}{n}}\right)^n = e^{i \frac{2\pi n}{n}} = e^{i 2\pi} = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi) = 1$.

Теперь мы можем вычислить сумму $Z$:

$Z = q \frac{q^n - 1}{q - 1} = e^{i \frac{2\pi}{n}} \frac{1 - 1}{e^{i \frac{2\pi}{n}} - 1} = e^{i \frac{2\pi}{n}} \frac{0}{e^{i \frac{2\pi}{n}} - 1} = 0$.

Поскольку сумма комплексных чисел $Z$ равна нулю, ее действительная часть, которая и является искомой суммой $S$, также равна нулю:

$S = \text{Re}(Z) = \text{Re}(0) = 0$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.