Страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.4. Решите уравнение:

1) $\cos 2x = \frac{1}{2}$;

2) $\cos \frac{x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\cos \frac{3x}{4} = -1$.

1) $cos(2x) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos(t) = a$. Его общее решение находится по формуле $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$.

Значение арккосинуса: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим известные значения в формулу общего решения:

$2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pm\frac{\pi}{3}}{2} + \frac{2\pi n}{2}$

$x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $cos(\frac{x}{5}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем ту же общую формулу для решения уравнений вида $cos(t) = a$: $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = \frac{x}{5}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем значение арккосинуса, используя свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$:

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{x}{5} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 5:

$x = 5 \cdot (\pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$

$x = \pm\frac{25\pi}{6} + 10\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{25\pi}{6} + 10\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $cos(\frac{3x}{4}) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $cos(t) = -1$ имеет вид $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{3x}{4}$.

Приравняем аргумент косинуса к общему решению:

$\frac{3x}{4} = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, сначала умножим обе части уравнения на 4:

$3x = 4(\pi + 2\pi n)$

$3x = 4\pi + 8\pi n$

Теперь разделим обе части на 3:

$x = \frac{4\pi + 8\pi n}{3}$

$x = \frac{4\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{4\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

28.5. Решите уравнение:

1) $ \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

2) $ \cos\left(\frac{x}{6} - 2\right) = -1; $

3) $ 2\cos\left(\frac{\pi}{8} - 3x\right) + 1 = 0. $

1) Решим уравнение $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = x + \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим арккосинус: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем значения в общую формулу:
$x + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Чтобы найти $x$, перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:
$x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Теперь рассмотрим два случая:
1. Cо знаком «+»:
$x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$x_1 = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$
2. Cо знаком «-»:
$x_2 = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$x_2 = -\frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n$
Таким образом, получаем две серии решений.
Ответ: $\frac{\pi}{12} + 2\pi n, -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.$

2) Решим уравнение $\cos(\frac{x}{6} - 2) = -1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $\cos(t) = -1$ имеет вид $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = \frac{x}{6} - 2$.
Подставляем в формулу:
$\frac{x}{6} - 2 = \pi + 2\pi n$
Выразим $x$. Сначала перенесем -2 в правую часть:
$\frac{x}{6} = 2 + \pi + 2\pi n$
Теперь умножим обе части уравнения на 6:
$x = 6(2 + \pi + 2\pi n)$
$x = 12 + 6\pi + 12\pi n$
Ответ: $12 + 6\pi + 12\pi n, n \in \mathbb{Z}.$

3) Решим уравнение $2\cos(\frac{\pi}{8} - 3x) + 1 = 0$.
Сначала преобразуем уравнение к виду $\cos(t) = a$.
$2\cos(\frac{\pi}{8} - 3x) = -1$
$\cos(\frac{\pi}{8} - 3x) = -\frac{1}{2}$
Воспользуемся свойством чётности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, чтобы изменить знак аргумента для удобства:
$\cos(3x - \frac{\pi}{8}) = -\frac{1}{2}$
Решаем по общей формуле $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = 3x - \frac{\pi}{8}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Находим арккосинус: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем значения в формулу:
$3x - \frac{\pi}{8} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Выразим $x$:
$3x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{1}{3}(\frac{\pi}{8} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = \frac{\pi}{24} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$
Рассмотрим два случая:
1. Cо знаком «+»:
$x_1 = \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$
Приводим дроби к общему знаменателю 72:
$x_1 = \frac{3\pi}{72} + \frac{16\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{19\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3}$
2. Cо знаком «-»:
$x_2 = \frac{\pi}{24} - \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$
Приводим дроби к общему знаменателю 72:
$x_2 = \frac{3\pi}{72} - \frac{16\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} = -\frac{13\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3}$
Ответ: $\frac{19\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3}, -\frac{13\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}.$

28.6. Решите уравнение:

1) $\cos\left(\frac{\pi}{9}-4x\right)=1;$

2) $\sqrt{2}\cos\left(\frac{x}{2}+3\right)+1=0.$

1) $ \cos(\frac{\pi}{9} - 4x) = 1 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Уравнение $ \cos(t) = 1 $ имеет решение $ t = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = \frac{\pi}{9} - 4x $. Следовательно, мы можем записать:

$ \frac{\pi}{9} - 4x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выразим $ x $:

$ -4x = 2\pi n - \frac{\pi}{9} $

Умножим обе части уравнения на -1:

$ 4x = \frac{\pi}{9} - 2\pi n $

Так как $ n $ — любое целое число ($ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots $), то $ -n $ также является любым целым числом. Поэтому мы можем заменить $ -n $ на $ k $, где $ k \in \mathbb{Z} $, чтобы получить более привычную форму записи:

$ 4x = \frac{\pi}{9} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Разделим обе части на 4:

$ x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{9} + 2\pi k \right) $

$ x = \frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{4} $

$ x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{2} \cos(\frac{x}{2} + 3) + 1 = 0 $

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить косинус:

$ \sqrt{2} \cos(\frac{x}{2} + 3) = -1 $

$ \cos(\frac{x}{2} + 3) = -\frac{1}{\sqrt{2}} $

Рационализируем знаменатель:

$ \cos(\frac{x}{2} + 3) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Общее решение уравнения $ \cos(t) = a $ (где $ |a| \le 1 $) имеет вид $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ t = \frac{x}{2} + 3 $, а $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Значение арккосинуса: $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4} $.

Подставляем значения в общую формулу:

$ \frac{x}{2} + 3 = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выразим $ x $:

$ \frac{x}{2} = -3 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ x = 2 \left( -3 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \right) $

$ x = -6 \pm \frac{2 \cdot 3\pi}{4} + 2 \cdot 2\pi n $

$ x = -6 \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -6 \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

28.7. Сколько корней уравнения $ \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ принадлежат промежутку $ \left[ -\frac{\pi}{2}; \pi \right] $?

Для начала решим тригонометрическое уравнение $ \cos(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Общее решение для этого типа уравнений имеет вид:$ 3x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, получаем:$ 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Отсюда получаем две серии решений для $x$:

1) $ 3x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} $

2) $ 3x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} $

Теперь найдем, какие из этих корней принадлежат промежутку $ \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right] $. Для этого решим соответствующие двойные неравенства для каждой серии решений.

Для первой серии корней: $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} $

$ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} \le \pi $

Разделим все части неравенства на $ \pi $:

$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{18} + \frac{2k}{3} \le 1 $

Вычтем $ \frac{1}{18} $ из всех частей:

$ -\frac{1}{2} - \frac{1}{18} \le \frac{2k}{3} \le 1 - \frac{1}{18} $

$ -\frac{9}{18} - \frac{1}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{18}{18} - \frac{1}{18} $

$ -\frac{10}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{17}{18} $

$ -\frac{5}{9} \le \frac{2k}{3} \le \frac{17}{18} $

Умножим все части на $ \frac{3}{2} $:

$ -\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{2} \le k \le \frac{17}{18} \cdot \frac{3}{2} $

$ -\frac{5}{6} \le k \le \frac{17}{12} $

Приблизительные значения: $ -0.833... \le k \le 1.416... $. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $ k = 0 $ и $ k = 1 $. Следовательно, из этой серии в заданный промежуток попадают 2 корня.

Для второй серии корней: $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} $

$ -\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} \le \pi $

Разделим все части неравенства на $ \pi $:

$ -\frac{1}{2} \le -\frac{1}{18} + \frac{2k}{3} \le 1 $

Прибавим $ \frac{1}{18} $ ко всем частям:

$ -\frac{1}{2} + \frac{1}{18} \le \frac{2k}{3} \le 1 + \frac{1}{18} $

$ -\frac{9}{18} + \frac{1}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{18}{18} + \frac{1}{18} $

$ -\frac{8}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{19}{18} $

$ -\frac{4}{9} \le \frac{2k}{3} \le \frac{19}{18} $

Умножим все части на $ \frac{3}{2} $:

$ -\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} \le k \le \frac{19}{18} \cdot \frac{3}{2} $

$ -\frac{2}{3} \le k \le \frac{19}{12} $

Приблизительные значения: $ -0.666... \le k \le 1.583... $. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $ k = 0 $ и $ k = 1 $. Следовательно, из этой серии в заданный промежуток также попадают 2 корня.

Таким образом, общее количество корней уравнения, принадлежащих промежутку $ \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right] $, равно $ 2 + 2 = 4 $.

Ответ: 4

28.8. Найдите все корни уравнения $\cos \left(x+\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{1}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{6}<x<4\pi$.

Сначала найдем общее решение уравнения $cos\left(x + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{2}$.

Аргумент косинуса $x + \frac{\pi}{12}$ должен быть равен $\pm arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Поскольку $arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем совокупность уравнений: $ \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \\ x + \frac{\pi}{12} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k. \end{array} \right. $

Выразим $x$ из каждого уравнения, получив две серии решений:

1) $x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k = \frac{8\pi - \pi}{12} + 2\pi k = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$.

2) $x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k = \frac{-8\pi - \pi}{12} + 2\pi k = -\frac{9\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Теперь необходимо отобрать корни, которые удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < 4\pi$.

Для первой серии корней $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{12} + 2\pi k < 4\pi$.

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{6} < \frac{7}{12} + 2k < 4$.

Вычтем $\frac{7}{12}$ из всех частей:

$-\frac{1}{6} - \frac{7}{12} < 2k < 4 - \frac{7}{12}$

$-\frac{2}{12} - \frac{7}{12} < 2k < \frac{48}{12} - \frac{7}{12}$

$-\frac{9}{12} < 2k < \frac{41}{12}$

$-\frac{3}{4} < 2k < \frac{41}{12}$.

Разделим на 2:

$-\frac{3}{8} < k < \frac{41}{24}$.

Это неравенство можно записать как $-0,375 < k < 1,708...$. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=0$ и $k=1$.

При $k=0$: $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi \cdot 0 = \frac{7\pi}{12}$.

При $k=1$: $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi \cdot 1 = \frac{7\pi + 24\pi}{12} = \frac{31\pi}{12}$.

Для второй серии корней $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ решим аналогичное неравенство:

$-\frac{\pi}{6} < -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < 4\pi$.

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{6} < -\frac{3}{4} + 2k < 4$.

Прибавим $\frac{3}{4}$ ко всем частям:

$-\frac{1}{6} + \frac{3}{4} < 2k < 4 + \frac{3}{4}$

$-\frac{2}{12} + \frac{9}{12} < 2k < \frac{16}{4} + \frac{3}{4}$

$\frac{7}{12} < 2k < \frac{19}{4}$.

Разделим на 2:

$\frac{7}{24} < k < \frac{19}{8}$.

Это неравенство можно записать как $0,291... < k < 2,375$. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=1$ и $k=2$.

При $k=1$: $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = \frac{-3\pi + 8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

При $k=2$: $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 2 = \frac{-3\pi + 16\pi}{4} = \frac{13\pi}{4}$.

Итак, мы нашли четыре корня, удовлетворяющие заданному неравенству: $\frac{7\pi}{12}$, $\frac{31\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{13\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}, \frac{5\pi}{4}, \frac{31\pi}{12}, \frac{13\pi}{4}$.

28.9. Решите уравнение:

1) $\cos \frac{2\pi}{x} = 1$;

2) $\cos \pi\sqrt{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\cos(\cos x) = \frac{1}{2}$.

1) $cos\frac{2\pi}{x} = 1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение уравнения $cos(t) = 1$ имеет вид $t = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

В нашем случае аргумент косинуса $t = \frac{2\pi}{x}$. Приравниваем его к общему решению:

$\frac{2\pi}{x} = 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}.$

Область допустимых значений переменной $x$ требует, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $x \ne 0$. Если предположить, что $n=0$, то правая часть уравнения будет равна нулю ($\frac{2\pi}{x} = 0$), что невозможно. Следовательно, $n$ не может быть равно нулю. Таким образом, $n$ - любое целое число, кроме нуля.

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$\frac{1}{x} = n$

Отсюда выражаем $x$:

$x = \frac{1}{n}$

Ответ: $x = \frac{1}{n}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$.

2) $cos(\pi\sqrt{x}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, и $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$.

Аргумент косинуса $t = \pi\sqrt{x}$. Следовательно:

$\pi\sqrt{x} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}.$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x} \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Также это означает, что левая часть уравнения $\pi\sqrt{x}$ должна быть неотрицательной.

Разделим обе части на $\pi$:

$\sqrt{x} = \pm \frac{5}{6} + 2k$

Рассмотрим два случая с учетом условия $\sqrt{x} \ge 0$.

Случай 1: $\sqrt{x} = \frac{5}{6} + 2k$.

Неравенство $\frac{5}{6} + 2k \ge 0$ эквивалентно $2k \ge -\frac{5}{6}$, или $k \ge -\frac{5}{12}$. Поскольку $k$ - целое число, это означает $k \ge 0$ (т.е. $k = 0, 1, 2, ...$).

Случай 2: $\sqrt{x} = -\frac{5}{6} + 2k$.

Неравенство $-\frac{5}{6} + 2k \ge 0$ эквивалентно $2k \ge \frac{5}{6}$, или $k \ge \frac{5}{12}$. Поскольку $k$ - целое число, это означает $k \ge 1$ (т.е. $k = 1, 2, 3, ...$).

Теперь найдем $x$, возведя в квадрат обе части в каждом из случаев:

Для случая 1: $x = \left(\frac{5}{6} + 2k\right)^2 = \left(\frac{5+12k}{6}\right)^2$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

Для случая 2: $x = \left(-\frac{5}{6} + 2k\right)^2 = \left(\frac{12k-5}{6}\right)^2$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.

Ответ: $x = \left(\frac{5+12k}{6}\right)^2, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$; $x = \left(\frac{12k-5}{6}\right)^2, k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.

3) $cos(cos(x)) = \frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos(x)$.

Поскольку область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие: $-1 \le t \le 1$.

После замены уравнение принимает вид:

$cos(t) = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$t = \pm arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо проверить, какие из найденных значений $t$ удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Рассмотрим значения $t$ при $n=0$: $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = -\frac{\pi}{3}$.

Так как $\pi \approx 3.14159... > 3$, то $\frac{\pi}{3} > 1$.

Следовательно, $t_1 = \frac{\pi}{3} > 1$, а $t_2 = -\frac{\pi}{3} < -1$.

Оба эти значения не входят в отрезок $[-1, 1]$.

При других целых значениях $n$ ($n \ne 0$) к этим значениям будет добавляться $2\pi n$, что еще больше отдалит их от отрезка $[-1, 1]$.

Таким образом, нет таких значений $t$, которые бы одновременно удовлетворяли уравнению $cos(t) = \frac{1}{2}$ и условию $-1 \le t \le 1$.

Это означает, что $cos(x)$ не может принимать ни одно из требуемых значений, а значит, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

28.10. Решите уравнение:

1) $\cos \frac{2\pi}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\cos(\cos x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

1) $\cos\frac{2\pi}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно, $x > 0$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos t = a$. Его общее решение имеет вид $t = \pm\arccos a + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В данном случае $t = \frac{2\pi}{\sqrt{x}}$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы знаем, что $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{2\pi}{\sqrt{x}} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Так как по ОДЗ $x > 0$, то $\sqrt{x} > 0$, и левая часть уравнения $\frac{2\pi}{\sqrt{x}}$ всегда положительна. Следовательно, и правая часть также должна быть положительной:

$\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n > 0$.

Рассмотрим два случая для правой части:

Случай а) со знаком «+»: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n > 0 \implies 2n > -\frac{1}{4} \implies n > -\frac{1}{8}$. Так как $n$ — целое, то $n \geq 0$.

Случай б) со знаком «-»: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n > 0 \implies 2n > \frac{1}{4} \implies n > \frac{1}{8}$. Так как $n$ — целое, то $n \geq 1$.

Теперь найдем $x$ для каждого случая, предварительно разделив исходное уравнение на $\pi$:

$\frac{2}{\sqrt{x}} = \pm\frac{1}{4} + 2n$.

Для случая а) ($n \geq 0$):

$\frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{1}{4} + 2n = \frac{1+8n}{4}$

$\sqrt{x} = \frac{8}{1+8n}$

$x = \left(\frac{8}{1+8n}\right)^2 = \frac{64}{(1+8n)^2}$, где $n \in Z, n \geq 0$.

Для случая б) ($n \geq 1$):

$\frac{2}{\sqrt{x}} = -\frac{1}{4} + 2n = \frac{8n-1}{4}$

$\sqrt{x} = \frac{8}{8n-1}$

$x = \left(\frac{8}{8n-1}\right)^2 = \frac{64}{(8n-1)^2}$, где $n \in Z, n \geq 1$.

Ответ: $x = \frac{64}{(1+8n)^2}$, где $n \in Z, n \geq 0$; $x = \frac{64}{(8n-1)^2}$, где $n \in Z, n \geq 1$.

2) $\cos(\cos x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Тогда уравнение примет вид:

$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решение этого уравнения:

$t = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Теперь вернемся к замене $t = \cos x$. Мы знаем, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \leq \cos x \leq 1$, а значит, и $-1 \leq t \leq 1$.

Нам нужно выбрать из всех решений для $t$ те, которые принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ и $2\pi \approx 6.28$.

При $n = 0$ получаем $t = \pm\frac{\pi}{4}$. Оба значения, $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ и $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$, принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

При $n \geq 1$ или $n \leq -1$, значение $|2\pi n|$ будет не меньше $2\pi \approx 6.28$. Тогда $|\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n|$ будет значительно больше 1, поэтому такие решения для $t$ не подходят.

Следовательно, для $\cos x$ возможны только два значения:

$\cos x = \frac{\pi}{4}$ или $\cos x = -\frac{\pi}{4}$.

Решим каждое из этих уравнений:

1) $\cos x = \frac{\pi}{4}$. Решение: $x = \pm\arccos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

2) $\cos x = -\frac{\pi}{4}$. Решение: $x = \pm\arccos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Эти два семейства решений и являются ответом.

Ответ: $x = \pm\arccos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k, k \in Z$; $x = \pm\arccos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k, k \in Z$.

28.11. При каких значениях параметра $a$ имеет решения уравнение

$\cos2x = -4a^2 + 4a - 2?$

Уравнение вида $\cos(f(x)) = A$ имеет решения тогда и только тогда, когда значение $A$ принадлежит области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

В данном случае, уравнение $\cos(2x) = -4a^2 + 4a - 2$ будет иметь решения, если правая часть уравнения удовлетворяет условию:

$-1 \le -4a^2 + 4a - 2 \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} -4a^2 + 4a - 2 \ge -1 \\ -4a^2 + 4a - 2 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:
$-4a^2 + 4a - 2 \ge -1$
$-4a^2 + 4a - 1 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$4a^2 - 4a + 1 \le 0$
Левая часть является полным квадратом:
$(2a - 1)^2 \le 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное неравенство выполняется только в том случае, когда левая часть равна нулю:
$(2a - 1)^2 = 0$
$2a - 1 = 0$
$a = \frac{1}{2}$

Решим второе неравенство системы:
$-4a^2 + 4a - 2 \le 1$
$-4a^2 + 4a - 3 \le 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$4a^2 - 4a + 3 \ge 0$
Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = 4a^2 - 4a + 3$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $a^2$ положителен). Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 - 48 = -32$.
Так как дискриминант $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, то квадратный трехчлен $4a^2 - 4a + 3$ принимает только положительные значения при всех действительных $a$. Следовательно, это неравенство выполняется для любого $a \in (-\infty; +\infty)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Первое неравенство имеет единственное решение $a = \frac{1}{2}$, которое также удовлетворяет второму неравенству. Таким образом, исходное уравнение имеет решения только при $a = \frac{1}{2}$.

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.

28.12. При каких значениях параметра $a$ имеет решения уравнение

$\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -a^2 - 1$?

Уравнение вида $\cos(f(x)) = g(a)$ имеет решения тогда и только тогда, когда значение выражения $g(a)$ принадлежит области значений функции косинус.

Областью значений функции $y = \cos(t)$ является отрезок $[-1; 1]$.

Следовательно, данное уравнение будет иметь решения при тех значениях параметра $a$, при которых правая часть уравнения, выражение $-a^2 - 1$, удовлетворяет условию:

$-1 \le -a^2 - 1 \le 1$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:

$\begin{cases} -a^2 - 1 \ge -1 \\ -a^2 - 1 \le 1 \end{cases}$

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

$-a^2 - 1 \ge -1$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$-a^2 \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$a^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$, единственное значение, удовлетворяющее неравенству $a^2 \le 0$, это $a^2 = 0$. Отсюда следует, что $a = 0$.

2. Решим второе неравенство:

$-a^2 - 1 \le 1$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$-a^2 \le 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$a^2 \ge -2$

Это неравенство выполняется для любого действительного значения $a$, так как $a^2$ всегда неотрицательно и, следовательно, всегда больше или равно $-2$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Из первого неравенства мы получили $a=0$, а из второго — $a$ является любым действительным числом. Пересечением этих двух условий является единственное значение $a=0$.

Проверим: если $a=0$, уравнение принимает вид $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -1$. Это уравнение имеет решения, например, $x - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $a=0$.

28.13. При каких положительных значениях параметра $a$ промежуток $[0; a]$ содержит не менее трёх корней уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$?

Для решения задачи сначала найдем все корни уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$.

Общее решение данного тригонометрического уравнения записывается в виде:$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем две серии корней:

1) $x_n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2) $x_n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

По условию, параметр $a$ положителен ($a > 0$), и мы ищем корни на промежутке $[0; a]$. Следовательно, нам необходимо найти неотрицательные корни уравнения ($x \ge 0$) и расположить их в порядке возрастания.

Найдем неотрицательные корни для каждой серии:

Для первой серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, корни будут неотрицательными при $n \ge 0$. При $n=0: x_1 = \frac{\pi}{3}$. При $n=1: x_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. При $n=2: x_5 = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$, и так далее.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, корни будут неотрицательными при $n \ge 1$. При $n=1: x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. При $n=2: x_4 = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$, и так далее.

Теперь расположим все найденные неотрицательные корни в порядке возрастания:$\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, \dots$

Промежуток $[0; a]$ должен содержать не менее трёх корней. Это означает, что третий по величине неотрицательный корень должен принадлежать этому промежутку.

Первый корень: $\frac{\pi}{3}$.

Второй корень: $\frac{5\pi}{3}$.

Третий корень: $\frac{7\pi}{3}$.

Чтобы промежуток $[0; a]$ содержал по меньшей мере три корня, его правая граница $a$ должна быть не меньше третьего корня. То есть, должно выполняться неравенство:$a \ge \frac{7\pi}{3}$.

Это условие также удовлетворяет требованию $a > 0$, так как $\frac{7\pi}{3} > 0$.

Ответ: $a \ge \frac{7\pi}{3}$ или в виде промежутка $a \in \left[\frac{7\pi}{3}; +\infty\right)$.

28.14. При каких положительных значениях параметра $a$ промежуток $[0; a]$ содержит не менее трёх корней уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$?

Для того чтобы найти значения параметра $a$, необходимо сначала решить уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Общее решение данного тригонометрического уравнения представляет собой две серии корней: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, общее решение имеет вид: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

По условию задачи, параметр $a$ положителен, и мы ищем корни на промежутке $[0; a]$. Следовательно, нам нужно найти наименьшие неотрицательные корни уравнения.

Рассмотрим каждую серию корней по отдельности и найдем неотрицательные решения, подставляя различные целые значения $k$.

1) Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k=0$, получаем первый корень: $x_1 = \frac{2\pi}{3}$.
• При $k=1$, получаем следующий корень: $x_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$.

2) Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k=0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$, что является отрицательным числом и не подходит.
• При $k=1$, получаем второй корень: $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$.
• При $k=2$, получаем четвертый корень: $x_4 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$.

Теперь расположим найденные неотрицательные корни в порядке возрастания: $x_1 = \frac{2\pi}{3}$, $x_2 = \frac{4\pi}{3}$, $x_3 = \frac{8\pi}{3}$, $x_4 = \frac{10\pi}{3}$, ...

Промежуток $[0; a]$ должен содержать не менее трёх корней. Это означает, что третий по величине корень, $x_3 = \frac{8\pi}{3}$, должен принадлежать этому промежутку. Для этого правая граница промежутка, $a$, должна быть не меньше, чем значение этого третьего корня.

Таким образом, должно выполняться неравенство: $a \ge x_3$ $a \ge \frac{8\pi}{3}$

Это и есть искомые значения параметра $a$. Условие $a > 0$ при этом выполняется, так как $\frac{8\pi}{3} > 0$.

Ответ: $a \in [\frac{8\pi}{3}, +\infty)$.

28.15. Определите количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{11\pi}{6}\right]$ в зависимости от значения параметра $a$.

Для определения количества корней уравнения $ \cos x = a $ на промежутке $ \left(-\frac{\pi}{4}; \frac{11\pi}{6}\right] $ необходимо исследовать, сколько раз горизонтальная прямая $ y = a $ пересекает график функции $ y = \cos x $ на данном промежутке.

Проанализируем поведение функции $ y = \cos x $ на указанном промежутке.
Найдем значения функции на концах промежутка:
- В левой граничной точке (не включена): $ \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
- В правой граничной точке (включена): $ \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
На данном промежутке функция достигает своего максимума $1$ в точке $ x = 0 $ и минимума $-1$ в точке $ x = \pi $.

Рассмотрим все возможные значения параметра $a$ и определим для каждого случая число корней.

При $ a > 1 $ или $ a < -1 $, уравнение не имеет решений, так как множество значений функции $ \cos x $ — это отрезок $ [-1; 1] $.

При $ a = 1 $, уравнение имеет один корень $ x = 0 $, который принадлежит заданному промежутку.

При $ a = -1 $, уравнение имеет один корень $ x = \pi $, который принадлежит заданному промежутку.

При $ a \in \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right) $, прямая $ y = a $ пересекает график функции дважды: один раз на интервале $ \left(-\frac{\pi}{4}; 0\right) $ и один раз на интервале $ \left(0; \frac{\pi}{6}\right) $.

При $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $, уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ имеет на заданном промежутке три корня: $ x = -\frac{\pi}{6} $, $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{11\pi}{6} $.

При $ a \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $, прямая $ y = a $ пересекает график трижды.

При $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $, уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет на заданном промежутке два корня: $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ x = \frac{7\pi}{4} $. Корень $ x = -\frac{\pi}{4} $ не входит в промежуток.

При $ a \in \left(-1; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $, прямая $ y = a $ пересекает график дважды.

Объединив полученные результаты, получим окончательный ответ.

Ответ:
при $ a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty) $ корней нет;
при $ a = -1 $ или $ a = 1 $ — один корень;
при $ a \in \left(-1; \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right) $ — два корня;
при $ a \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right] $ — три корня.