Страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.16. Определите количество корней уравнения $ \cos x = a $ на промежутке $ \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4} \right] $ в зависимости от значения параметра $a$.

Для решения задачи необходимо определить, сколько раз горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график функции $y = \cos x$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$. Для этого исследуем поведение функции $\cos x$ на данном промежутке.

1. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ функция $y = \cos x$ монотонно возрастает. Значения функции изменяются от $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ до $\cos(0) = 1$.

2. На отрезке $[0; \frac{3\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ монотонно убывает. Значения функции изменяются от $\cos(0) = 1$ до $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, общая область значений функции $\cos x$ на всем промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$ — это отрезок $[-\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]$.

Теперь проанализируем количество решений уравнения $\cos x = a$ в зависимости от значения параметра $a$:

• Если $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > 1$, то значение $a$ не попадает в область значений функции $\cos x$ на данном промежутке. В этом случае прямая $y = a$ не пересекает график функции, и уравнение не имеет корней.

• Если $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$, прямая $y=a$ пересекает график функции в одной точке. Эта точка принадлежит отрезку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$, где функция убывает и принимает все значения от 0 до $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ значения функции неотрицательны, поэтому пересечений нет. Следовательно, уравнение имеет один корень.

• Если $a \in [0; 1)$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках. Одна точка пересечения находится на отрезке возрастания $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, а другая — на отрезке убывания $[0; \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, уравнение имеет два корня.

• Если $a = 1$, прямая касается графика в точке максимума $x=0$. Уравнение имеет один корень.

Объединив полученные результаты, получим итоговый ответ.

Ответ: если $a \in (-\infty; -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1; +\infty)$, то корней нет; если $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0) \cup \{1\}$, то один корень; если $a \in [0; 1)$, то два корня.

28.17. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x-a)\left(\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$ имеет единственный корень на промежутке $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$?

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, исходное уравнение $(x-a)(\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x - a = 0 \implies x = a$

2) $\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем корни второго уравнения, принадлежащие промежутку $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

Общее решение уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то общее решение: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Рассмотрим две серии корней:

а) $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{6}$, что не входит в промежуток $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$. При других целых $k$ корни также не попадут в данный промежуток.

б) $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. При $k=1$, получаем $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi + 12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$. Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Сравним: $\pi \le \frac{7\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2}$. Это эквивалентно $1 \le \frac{7}{6} \le \frac{3}{2}$ или $6 \le 7 \le 9$, что является верным неравенством. При других целых $k$ корни не попадут в данный промежуток.

Таким образом, уравнение $\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ имеет ровно один корень $x = \frac{7\pi}{6}$ на промежутке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

Теперь вернемся к исходной задаче. Уравнение $(x-a)(\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$ должно иметь единственный корень на промежутке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Это возможно в двух случаях:

Случай 1: Корень первого уравнения $x=a$ совпадает с корнем второго уравнения $x=\frac{7\pi}{6}$.

В этом случае $a = \frac{7\pi}{6}$. Тогда оба уравнения дают один и тот же корень $x = \frac{7\pi}{6}$, который принадлежит заданному промежутку. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Корень первого уравнения $x=a$ не принадлежит промежутку $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

В этом случае единственным корнем исходного уравнения на данном промежутке будет корень второго уравнения $x = \frac{7\pi}{6}$. Условие того, что $x=a$ не принадлежит промежутку $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, означает, что $a < \pi$ или $a > \frac{3\pi}{2}$.

Объединяя оба случая, получаем, что параметр $a$ должен удовлетворять условию: $a = \frac{7\pi}{6}$ или $a < \pi$ или $a > \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $a \in (-\infty; \pi) \cup \{\frac{7\pi}{6}\} \cup (\frac{3\pi}{2}; +\infty)$

28.18. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x+a)\left(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$ имеет единственный корень на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$?

Данное уравнение $(x+a)\left(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:

$\begin{bmatrix}x+a=0 \\\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0\end{bmatrix}$

Нам нужно, чтобы на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$ эта совокупность имела ровно одно решение.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно на заданном промежутке.

1. Решим уравнение $\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$:
$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Общие решения этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем корень, принадлежащий промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$. На этом промежутке (четвертая четверть координатной окружности) косинус принимает все значения от 0 до 1. Значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается в точке $x_1 = -\frac{\pi}{4}$. Это единственный корень второго уравнения на данном промежутке.

2. Решим уравнение $x+a = 0$:
$x_2 = -a$.
Этот корень зависит от параметра $a$.

Таким образом, исходное уравнение имеет корни $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = -a$. Нам нужно, чтобы на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ был только один корень. Это возможно в двух случаях.

Случай 1: Корни совпадают

Корень от первого уравнения совпадает с корнем от второго:$x_1 = x_2$
$-\frac{\pi}{4} = -a$
$a = \frac{\pi}{4}$
При этом значении $a$ оба уравнения дают один и тот же корень $x = -\frac{\pi}{4}$, который принадлежит заданному промежутку. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Корень второго уравнения не принадлежит заданному промежутку

Первое уравнение всегда дает корень $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$. Чтобы этот корень был единственным, корень второго уравнения $x_2 = -a$ не должен принадлежать этому промежутку.

Найдем, при каких $a$ корень $x_2 = -a$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$:$-\frac{\pi}{2} \le -a \le 0$
Умножим неравенство на -1, изменив знаки на противоположные:$0 \le a \le \frac{\pi}{2}$
Значит, корень $x_2=-a$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ при $a \in [0; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, корень $x_2 = -a$ не будет принадлежать промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, если $a$ находится вне отрезка $[0; \frac{\pi}{2}]$. То есть, при:$a < 0$ или $a > \frac{\pi}{2}$.

Объединим результаты, полученные в обоих случаях. Уравнение имеет единственный корень, если $a = \frac{\pi}{4}$ (случай 1) или $a < 0$ или $a > \frac{\pi}{2}$ (случай 2).

Заметим, что значение $a = \frac{\pi}{4}$ входит в промежуток $[0; \frac{\pi}{2}]$, который мы исключили во втором случае. Объединение решений дает нам:$a \in (-\infty; 0) \cup \{\frac{\pi}{4}\} \cup (\frac{\pi}{2}; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup \{\frac{\pi}{4}\} \cup (\frac{\pi}{2}; +\infty)$.