Номер 28.17, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.17. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x-a)\left(\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$ имеет единственный корень на промежутке $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$?

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, исходное уравнение $(x-a)(\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x - a = 0 \implies x = a$

2) $\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем корни второго уравнения, принадлежащие промежутку $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

Общее решение уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то общее решение: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Рассмотрим две серии корней:

а) $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{6}$, что не входит в промежуток $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$. При других целых $k$ корни также не попадут в данный промежуток.

б) $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. При $k=1$, получаем $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi + 12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$. Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Сравним: $\pi \le \frac{7\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2}$. Это эквивалентно $1 \le \frac{7}{6} \le \frac{3}{2}$ или $6 \le 7 \le 9$, что является верным неравенством. При других целых $k$ корни не попадут в данный промежуток.

Таким образом, уравнение $\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ имеет ровно один корень $x = \frac{7\pi}{6}$ на промежутке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

Теперь вернемся к исходной задаче. Уравнение $(x-a)(\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$ должно иметь единственный корень на промежутке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Это возможно в двух случаях:

Случай 1: Корень первого уравнения $x=a$ совпадает с корнем второго уравнения $x=\frac{7\pi}{6}$.

В этом случае $a = \frac{7\pi}{6}$. Тогда оба уравнения дают один и тот же корень $x = \frac{7\pi}{6}$, который принадлежит заданному промежутку. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Корень первого уравнения $x=a$ не принадлежит промежутку $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.

В этом случае единственным корнем исходного уравнения на данном промежутке будет корень второго уравнения $x = \frac{7\pi}{6}$. Условие того, что $x=a$ не принадлежит промежутку $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, означает, что $a < \pi$ или $a > \frac{3\pi}{2}$.

Объединяя оба случая, получаем, что параметр $a$ должен удовлетворять условию: $a = \frac{7\pi}{6}$ или $a < \pi$ или $a > \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $a \in (-\infty; \pi) \cup \{\frac{7\pi}{6}\} \cup (\frac{3\pi}{2}; +\infty)$