Номер 28.10, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.10. Решите уравнение:

1) $\cos \frac{2\pi}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\cos(\cos x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

1) $\cos\frac{2\pi}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно, $x > 0$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos t = a$. Его общее решение имеет вид $t = \pm\arccos a + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В данном случае $t = \frac{2\pi}{\sqrt{x}}$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы знаем, что $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{2\pi}{\sqrt{x}} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Так как по ОДЗ $x > 0$, то $\sqrt{x} > 0$, и левая часть уравнения $\frac{2\pi}{\sqrt{x}}$ всегда положительна. Следовательно, и правая часть также должна быть положительной:

$\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n > 0$.

Рассмотрим два случая для правой части:

Случай а) со знаком «+»: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n > 0 \implies 2n > -\frac{1}{4} \implies n > -\frac{1}{8}$. Так как $n$ — целое, то $n \geq 0$.

Случай б) со знаком «-»: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n > 0 \implies 2n > \frac{1}{4} \implies n > \frac{1}{8}$. Так как $n$ — целое, то $n \geq 1$.

Теперь найдем $x$ для каждого случая, предварительно разделив исходное уравнение на $\pi$:

$\frac{2}{\sqrt{x}} = \pm\frac{1}{4} + 2n$.

Для случая а) ($n \geq 0$):

$\frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{1}{4} + 2n = \frac{1+8n}{4}$

$\sqrt{x} = \frac{8}{1+8n}$

$x = \left(\frac{8}{1+8n}\right)^2 = \frac{64}{(1+8n)^2}$, где $n \in Z, n \geq 0$.

Для случая б) ($n \geq 1$):

$\frac{2}{\sqrt{x}} = -\frac{1}{4} + 2n = \frac{8n-1}{4}$

$\sqrt{x} = \frac{8}{8n-1}$

$x = \left(\frac{8}{8n-1}\right)^2 = \frac{64}{(8n-1)^2}$, где $n \in Z, n \geq 1$.

Ответ: $x = \frac{64}{(1+8n)^2}$, где $n \in Z, n \geq 0$; $x = \frac{64}{(8n-1)^2}$, где $n \in Z, n \geq 1$.

2) $\cos(\cos x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Тогда уравнение примет вид:

$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решение этого уравнения:

$t = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Теперь вернемся к замене $t = \cos x$. Мы знаем, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \leq \cos x \leq 1$, а значит, и $-1 \leq t \leq 1$.

Нам нужно выбрать из всех решений для $t$ те, которые принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ и $2\pi \approx 6.28$.

При $n = 0$ получаем $t = \pm\frac{\pi}{4}$. Оба значения, $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ и $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$, принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

При $n \geq 1$ или $n \leq -1$, значение $|2\pi n|$ будет не меньше $2\pi \approx 6.28$. Тогда $|\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n|$ будет значительно больше 1, поэтому такие решения для $t$ не подходят.

Следовательно, для $\cos x$ возможны только два значения:

$\cos x = \frac{\pi}{4}$ или $\cos x = -\frac{\pi}{4}$.

Решим каждое из этих уравнений:

1) $\cos x = \frac{\pi}{4}$. Решение: $x = \pm\arccos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

2) $\cos x = -\frac{\pi}{4}$. Решение: $x = \pm\arccos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Эти два семейства решений и являются ответом.

Ответ: $x = \pm\arccos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k, k \in Z$; $x = \pm\arccos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k, k \in Z$.