Номер 28.11, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.11. При каких значениях параметра $a$ имеет решения уравнение

$\cos2x = -4a^2 + 4a - 2?$

Уравнение вида $\cos(f(x)) = A$ имеет решения тогда и только тогда, когда значение $A$ принадлежит области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

В данном случае, уравнение $\cos(2x) = -4a^2 + 4a - 2$ будет иметь решения, если правая часть уравнения удовлетворяет условию:

$-1 \le -4a^2 + 4a - 2 \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} -4a^2 + 4a - 2 \ge -1 \\ -4a^2 + 4a - 2 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:
$-4a^2 + 4a - 2 \ge -1$
$-4a^2 + 4a - 1 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$4a^2 - 4a + 1 \le 0$
Левая часть является полным квадратом:
$(2a - 1)^2 \le 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное неравенство выполняется только в том случае, когда левая часть равна нулю:
$(2a - 1)^2 = 0$
$2a - 1 = 0$
$a = \frac{1}{2}$

Решим второе неравенство системы:
$-4a^2 + 4a - 2 \le 1$
$-4a^2 + 4a - 3 \le 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$4a^2 - 4a + 3 \ge 0$
Рассмотрим квадратичную функцию $y(a) = 4a^2 - 4a + 3$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $a^2$ положителен). Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 - 48 = -32$.
Так как дискриминант $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, то квадратный трехчлен $4a^2 - 4a + 3$ принимает только положительные значения при всех действительных $a$. Следовательно, это неравенство выполняется для любого $a \in (-\infty; +\infty)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Первое неравенство имеет единственное решение $a = \frac{1}{2}$, которое также удовлетворяет второму неравенству. Таким образом, исходное уравнение имеет решения только при $a = \frac{1}{2}$.

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.