Номер 28.14, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.14. При каких положительных значениях параметра $a$ промежуток $[0; a]$ содержит не менее трёх корней уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$?

Для того чтобы найти значения параметра $a$, необходимо сначала решить уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Общее решение данного тригонометрического уравнения представляет собой две серии корней: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, общее решение имеет вид: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

По условию задачи, параметр $a$ положителен, и мы ищем корни на промежутке $[0; a]$. Следовательно, нам нужно найти наименьшие неотрицательные корни уравнения.

Рассмотрим каждую серию корней по отдельности и найдем неотрицательные решения, подставляя различные целые значения $k$.

1) Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k=0$, получаем первый корень: $x_1 = \frac{2\pi}{3}$.
• При $k=1$, получаем следующий корень: $x_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$.

2) Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k=0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$, что является отрицательным числом и не подходит.
• При $k=1$, получаем второй корень: $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$.
• При $k=2$, получаем четвертый корень: $x_4 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$.

Теперь расположим найденные неотрицательные корни в порядке возрастания: $x_1 = \frac{2\pi}{3}$, $x_2 = \frac{4\pi}{3}$, $x_3 = \frac{8\pi}{3}$, $x_4 = \frac{10\pi}{3}$, ...

Промежуток $[0; a]$ должен содержать не менее трёх корней. Это означает, что третий по величине корень, $x_3 = \frac{8\pi}{3}$, должен принадлежать этому промежутку. Для этого правая граница промежутка, $a$, должна быть не меньше, чем значение этого третьего корня.

Таким образом, должно выполняться неравенство: $a \ge x_3$ $a \ge \frac{8\pi}{3}$

Это и есть искомые значения параметра $a$. Условие $a > 0$ при этом выполняется, так как $\frac{8\pi}{3} > 0$.

Ответ: $a \in [\frac{8\pi}{3}, +\infty)$.