Номер 29.1, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.1. Решите уравнение:

1) $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

2) $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

3) $ \sin x = \frac{1}{4} $;

4) $ \sin x = \sqrt{2} $.

1) Дано уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).
В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение.
Найдем арксинус: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Подставим это значение в общую формулу:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем ту же общую формулу: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем свойство арксинуса: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$.
$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем в общую формулу:
$x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k$
Это можно записать как $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin x = \frac{1}{4}$.
Так как значение $|a| = \left|\frac{1}{4}\right| \le 1$, уравнение имеет решения.
Применяем общую формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{4}$. Это значение не является табличным, поэтому решение записывается через арксинус.
$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\sin x = \sqrt{2}$.
Область значений функции $y = \sin x$ - это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
Значение $\sqrt{2} \approx 1,414$.
Так как $\sqrt{2} > 1$, то значение $\sqrt{2}$ не входит в область значений функции синуса. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.