Номер 29.6, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.6. Решите уравнение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{18} - 8x\right) = 1;$

2) $2\sin\left(\frac{x}{5} - 4\right) + 1 = 0.$

1) $\sin(\frac{\pi}{18} - 8x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения $\sin(t) = 1$. Его решение имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

В данном уравнении аргумент синуса $t = \frac{\pi}{18} - 8x$. Приравняем аргумент к общему решению:

$\frac{\pi}{18} - 8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала выразим $-8x$:

$-8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} + 2\pi k$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 18:

$-8x = \frac{9\pi}{18} - \frac{\pi}{18} + 2\pi k$

$-8x = \frac{8\pi}{18} + 2\pi k$

Сократим дробь $\frac{8\pi}{18}$ на 2:

$-8x = \frac{4\pi}{9} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -8:

$x = -\frac{1}{8} \left( \frac{4\pi}{9} + 2\pi k \right)$

$x = -\frac{4\pi}{8 \cdot 9} - \frac{2\pi k}{8}$

$x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi k}{4}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin(\frac{x}{5} - 4) + 1 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить синус:

$2\sin(\frac{x}{5} - 4) = -1$

$\sin(\frac{x}{5} - 4) = -\frac{1}{2}$

Получили простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{5} - 4$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Найдём значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим эти значения в общую формулу решения:

$\frac{x}{5} - 4 = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$

Используя свойство степеней $(-1)^k \cdot (-1) = (-1)^{k+1}$, упростим выражение:

$\frac{x}{5} - 4 = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем -4 в правую часть:

$\frac{x}{5} = 4 + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:

$x = 5 \left( 4 + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \right)$

$x = 20 + (-1)^{k+1} \frac{5\pi}{6} + 5\pi k$

Ответ: $x = 20 + (-1)^{k+1} \frac{5\pi}{6} + 5\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.