Номер 29.8, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.8. Сколько корней уравнения $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$?

Чтобы найти количество корней уравнения $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, воспользуемся методом замены переменной.
Пусть $t = 3x$. Тогда нам нужно найти количество решений уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на соответствующем промежутке для $t$.
Найдем этот промежуток. Так как $x \in [-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то, умножив все части двойного неравенства на 3, получим:
$3 \cdot (-\frac{3\pi}{2}) \le 3x \le 3 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-\frac{9\pi}{2} \le t \le \frac{3\pi}{2}$
Таким образом, задача сводится к нахождению количества корней уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $[-\frac{9\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Решения уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ задаются двумя сериями:
1) $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $t = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Найдем, сколько корней из каждой серии попадает в промежуток $[-\frac{9\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Для первой серии $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:
$-\frac{9\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{9}{2} \le \frac{1}{4} + 2k \le \frac{3}{2}$
Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей:
$-\frac{18}{4} - \frac{1}{4} \le 2k \le \frac{6}{4} - \frac{1}{4}$
$-\frac{19}{4} \le 2k \le \frac{5}{4}$
Разделим на 2:
$-\frac{19}{8} \le k \le \frac{5}{8}$
$-2.375 \le k \le 0.625$
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -2, -1, 0$. Следовательно, из этой серии в промежуток попадают 3 корня.

Для второй серии $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:
$-\frac{9\pi}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{3\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{9}{2} \le \frac{3}{4} + 2k \le \frac{3}{2}$
Вычтем $\frac{3}{4}$ из всех частей:
$-\frac{18}{4} - \frac{3}{4} \le 2k \le \frac{6}{4} - \frac{3}{4}$
$-\frac{21}{4} \le 2k \le \frac{3}{4}$
Разделим на 2:
$-\frac{21}{8} \le k \le \frac{3}{8}$
$-2.625 \le k \le 0.375$
Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $k = -2, -1, 0$. Следовательно, из этой серии в промежуток также попадают 3 корня.

Каждому найденному значению $t$ соответствует единственное значение $x = t/3$, поэтому общее количество корней исходного уравнения на заданном промежутке равно сумме найденных корней для $t$.
Всего корней: $3 + 3 = 6$.
Ответ: 6