Номер 29.3, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.3. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{x}{6} = -\frac{1}{2};$

2) $\sin 5x = 1;$

3) $\sin (-8x) = \frac{2}{9}.$

1) Решим уравнение $ \sin\frac{x}{6} = -\frac{1}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin t = a $. Общее решение для такого уравнения записывается в виде $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В данном уравнении $ t = \frac{x}{6} $ и $ a = -\frac{1}{2} $.

Найдем значение арксинуса: $ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $.

Подставим эти значения в формулу общего решения:

$ \frac{x}{6} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n $

Упростим выражение:

$ \frac{x}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $

Теперь выразим $ x $, умножив обе части уравнения на 6:

$ x = 6 \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n \right) $

$ x = (-1)^{n+1} \pi + 6\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sin 5x = 1 $.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $ \sin t = 1 $ имеет вид $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = 5x $.

Приравниваем аргумент синуса к общему решению для данного частного случая:

$ 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 5:

$ x = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим уравнение $ \sin(-8x) = \frac{2}{9} $.

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.

Применив это свойство, получим:

$ -\sin(8x) = \frac{2}{9} $

Умножим обе части уравнения на -1:

$ \sin(8x) = -\frac{2}{9} $

Это уравнение вида $ \sin t = a $, общее решение которого $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ t = 8x $ и $ a = -\frac{2}{9} $.

Подставим эти значения в формулу:

$ 8x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{2}{9}\right) + \pi n $

Используем свойство арксинуса $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $:

$ 8x = (-1)^n \left(-\arcsin\frac{2}{9}\right) + \pi n $

$ 8x = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{2}{9} + \pi n $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 8:

$ x = \frac{(-1)^{n+1} \arcsin\frac{2}{9} + \pi n}{8} $

$ x = \frac{(-1)^{n+1}}{8} \arcsin\frac{2}{9} + \frac{\pi n}{8} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{(-1)^{n+1}}{8} \arcsin\frac{2}{9} + \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z} $.