Номер 28.16, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.16. Определите количество корней уравнения $ \cos x = a $ на промежутке $ \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4} \right] $ в зависимости от значения параметра $a$.

Для решения задачи необходимо определить, сколько раз горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график функции $y = \cos x$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$. Для этого исследуем поведение функции $\cos x$ на данном промежутке.

1. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ функция $y = \cos x$ монотонно возрастает. Значения функции изменяются от $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ до $\cos(0) = 1$.

2. На отрезке $[0; \frac{3\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ монотонно убывает. Значения функции изменяются от $\cos(0) = 1$ до $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, общая область значений функции $\cos x$ на всем промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$ — это отрезок $[-\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]$.

Теперь проанализируем количество решений уравнения $\cos x = a$ в зависимости от значения параметра $a$:

• Если $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > 1$, то значение $a$ не попадает в область значений функции $\cos x$ на данном промежутке. В этом случае прямая $y = a$ не пересекает график функции, и уравнение не имеет корней.

• Если $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$, прямая $y=a$ пересекает график функции в одной точке. Эта точка принадлежит отрезку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$, где функция убывает и принимает все значения от 0 до $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ значения функции неотрицательны, поэтому пересечений нет. Следовательно, уравнение имеет один корень.

• Если $a \in [0; 1)$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках. Одна точка пересечения находится на отрезке возрастания $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, а другая — на отрезке убывания $[0; \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, уравнение имеет два корня.

• Если $a = 1$, прямая касается графика в точке максимума $x=0$. Уравнение имеет один корень.

Объединив полученные результаты, получим итоговый ответ.

Ответ: если $a \in (-\infty; -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1; +\infty)$, то корней нет; если $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0) \cup \{1\}$, то один корень; если $a \in [0; 1)$, то два корня.