Номер 28.9, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.9. Решите уравнение:

1) $\cos \frac{2\pi}{x} = 1$;

2) $\cos \pi\sqrt{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\cos(\cos x) = \frac{1}{2}$.

1) $cos\frac{2\pi}{x} = 1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение уравнения $cos(t) = 1$ имеет вид $t = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

В нашем случае аргумент косинуса $t = \frac{2\pi}{x}$. Приравниваем его к общему решению:

$\frac{2\pi}{x} = 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}.$

Область допустимых значений переменной $x$ требует, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $x \ne 0$. Если предположить, что $n=0$, то правая часть уравнения будет равна нулю ($\frac{2\pi}{x} = 0$), что невозможно. Следовательно, $n$ не может быть равно нулю. Таким образом, $n$ - любое целое число, кроме нуля.

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$\frac{1}{x} = n$

Отсюда выражаем $x$:

$x = \frac{1}{n}$

Ответ: $x = \frac{1}{n}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$.

2) $cos(\pi\sqrt{x}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, и $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$.

Аргумент косинуса $t = \pi\sqrt{x}$. Следовательно:

$\pi\sqrt{x} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}.$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x} \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Также это означает, что левая часть уравнения $\pi\sqrt{x}$ должна быть неотрицательной.

Разделим обе части на $\pi$:

$\sqrt{x} = \pm \frac{5}{6} + 2k$

Рассмотрим два случая с учетом условия $\sqrt{x} \ge 0$.

Случай 1: $\sqrt{x} = \frac{5}{6} + 2k$.

Неравенство $\frac{5}{6} + 2k \ge 0$ эквивалентно $2k \ge -\frac{5}{6}$, или $k \ge -\frac{5}{12}$. Поскольку $k$ - целое число, это означает $k \ge 0$ (т.е. $k = 0, 1, 2, ...$).

Случай 2: $\sqrt{x} = -\frac{5}{6} + 2k$.

Неравенство $-\frac{5}{6} + 2k \ge 0$ эквивалентно $2k \ge \frac{5}{6}$, или $k \ge \frac{5}{12}$. Поскольку $k$ - целое число, это означает $k \ge 1$ (т.е. $k = 1, 2, 3, ...$).

Теперь найдем $x$, возведя в квадрат обе части в каждом из случаев:

Для случая 1: $x = \left(\frac{5}{6} + 2k\right)^2 = \left(\frac{5+12k}{6}\right)^2$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

Для случая 2: $x = \left(-\frac{5}{6} + 2k\right)^2 = \left(\frac{12k-5}{6}\right)^2$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.

Ответ: $x = \left(\frac{5+12k}{6}\right)^2, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$; $x = \left(\frac{12k-5}{6}\right)^2, k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.

3) $cos(cos(x)) = \frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos(x)$.

Поскольку область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие: $-1 \le t \le 1$.

После замены уравнение принимает вид:

$cos(t) = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$t = \pm arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо проверить, какие из найденных значений $t$ удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Рассмотрим значения $t$ при $n=0$: $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = -\frac{\pi}{3}$.

Так как $\pi \approx 3.14159... > 3$, то $\frac{\pi}{3} > 1$.

Следовательно, $t_1 = \frac{\pi}{3} > 1$, а $t_2 = -\frac{\pi}{3} < -1$.

Оба эти значения не входят в отрезок $[-1, 1]$.

При других целых значениях $n$ ($n \ne 0$) к этим значениям будет добавляться $2\pi n$, что еще больше отдалит их от отрезка $[-1, 1]$.

Таким образом, нет таких значений $t$, которые бы одновременно удовлетворяли уравнению $cos(t) = \frac{1}{2}$ и условию $-1 \le t \le 1$.

Это означает, что $cos(x)$ не может принимать ни одно из требуемых значений, а значит, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.