Номер 28.5, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.5. Решите уравнение:

1) $ \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

2) $ \cos\left(\frac{x}{6} - 2\right) = -1; $

3) $ 2\cos\left(\frac{\pi}{8} - 3x\right) + 1 = 0. $

1) Решим уравнение $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = x + \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим арккосинус: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем значения в общую формулу:
$x + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Чтобы найти $x$, перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:
$x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Теперь рассмотрим два случая:
1. Cо знаком «+»:
$x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$x_1 = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$
2. Cо знаком «-»:
$x_2 = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$x_2 = -\frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n$
Таким образом, получаем две серии решений.
Ответ: $\frac{\pi}{12} + 2\pi n, -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.$

2) Решим уравнение $\cos(\frac{x}{6} - 2) = -1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $\cos(t) = -1$ имеет вид $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = \frac{x}{6} - 2$.
Подставляем в формулу:
$\frac{x}{6} - 2 = \pi + 2\pi n$
Выразим $x$. Сначала перенесем -2 в правую часть:
$\frac{x}{6} = 2 + \pi + 2\pi n$
Теперь умножим обе части уравнения на 6:
$x = 6(2 + \pi + 2\pi n)$
$x = 12 + 6\pi + 12\pi n$
Ответ: $12 + 6\pi + 12\pi n, n \in \mathbb{Z}.$

3) Решим уравнение $2\cos(\frac{\pi}{8} - 3x) + 1 = 0$.
Сначала преобразуем уравнение к виду $\cos(t) = a$.
$2\cos(\frac{\pi}{8} - 3x) = -1$
$\cos(\frac{\pi}{8} - 3x) = -\frac{1}{2}$
Воспользуемся свойством чётности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, чтобы изменить знак аргумента для удобства:
$\cos(3x - \frac{\pi}{8}) = -\frac{1}{2}$
Решаем по общей формуле $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = 3x - \frac{\pi}{8}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Находим арккосинус: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем значения в формулу:
$3x - \frac{\pi}{8} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Выразим $x$:
$3x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{1}{3}(\frac{\pi}{8} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = \frac{\pi}{24} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$
Рассмотрим два случая:
1. Cо знаком «+»:
$x_1 = \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$
Приводим дроби к общему знаменателю 72:
$x_1 = \frac{3\pi}{72} + \frac{16\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} = \frac{19\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3}$
2. Cо знаком «-»:
$x_2 = \frac{\pi}{24} - \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$
Приводим дроби к общему знаменателю 72:
$x_2 = \frac{3\pi}{72} - \frac{16\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3} = -\frac{13\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3}$
Ответ: $\frac{19\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3}, -\frac{13\pi}{72} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}.$