Номер 28.1, страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.1. Решите уравнение:

1) $\cos x = \frac{1}{2};$

2) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$

3) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $\cos x = \frac{1}{3};$

5) $\cos x = \frac{\pi}{3};$

6) $\cos x = \frac{\pi}{4}.$

1)

Дано уравнение $cos x = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos x = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $x = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса для этого числа является табличным:

$arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу для решения уравнений вида $cos x = a$: $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение.

$arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общая формула решения: $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Так как $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$ (табличное значение), получаем:

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано уравнение $cos x = \frac{1}{3}$.

Применяем общую формулу решения $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{1}{3}$. Так как $| \frac{1}{3} | \le 1$, уравнение имеет решения.

Число $\frac{1}{3}$ не является табличным значением для косинуса, поэтому решение записывается через арккосинус.

$x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5)

Дано уравнение $cos x = \frac{\pi}{3}$.

Область значений функции косинуса $y = cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого значения $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le cos x \le 1$.

В данном уравнении $cos x$ должен быть равен $\frac{\pi}{3}$.

Оценим значение числа $\frac{\pi}{3}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} \approx 1.047$.

Так как $\frac{\pi}{3} > 1$, это значение не входит в область значений функции косинуса.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

6)

Дано уравнение $cos x = \frac{\pi}{4}$.

Проверим, имеет ли уравнение решение. Для этого нужно убедиться, что правая часть уравнения по модулю не превышает 1.

Оценим значение $\frac{\pi}{4}$. Используя $\pi \approx 3.14159$, имеем:

$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.

Так как $-1 \le \frac{\pi}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.

Используем общую формулу $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$, где $a = \frac{\pi}{4}$.

Поскольку $\frac{\pi}{4}$ не является стандартным табличным значением, для которого известен угол, ответ записывается через арккосинус.

$x = \pm arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.