Номер 27.25, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.25. Докажите равенство $\cos \frac{\pi}{n} + \cos \frac{3\pi}{n} + \ldots + \cos \frac{(2n-1)\pi}{n} = 0$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом, использующим комплексные числа. Рассмотрим сумму `S`:

$S = \cos\frac{\pi}{n} + \cos\frac{3\pi}{n} + \dots + \cos\frac{(2n-1)\pi}{n}$

Эта сумма является действительной частью (real part) другой суммы, `Z`, состоящей из комплексных чисел:

$Z = e^{i\frac{\pi}{n}} + e^{i\frac{3\pi}{n}} + \dots + e^{i\frac{(2n-1)\pi}{n}}$

Согласно формуле Эйлера $e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi$, действительная часть каждого члена $e^{i\phi}$ равна $\cos\phi$. Следовательно, $S = \text{Re}(Z)$.

Слагаемые в сумме `Z` образуют геометрическую прогрессию. Найдем ее параметры:

• Первый член прогрессии: $a = e^{i\frac{\pi}{n}}$
• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{e^{i\frac{3\pi}{n}}}{e^{i\frac{\pi}{n}}} = e^{i(\frac{3\pi}{n} - \frac{\pi}{n})} = e^{i\frac{2\pi}{n}}$
• Количество членов прогрессии: $n$

Сумма `n` членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $Z = a \frac{q^n - 1}{q - 1}$. Эта формула применима, если знаменатель $q \neq 1$.

Проверим условие $q \neq 1$. Знаменатель $q = e^{i\frac{2\pi}{n}}$ равен 1 только в том случае, если $\frac{2\pi}{n}$ является целым кратным $2\pi$, то есть $\frac{2\pi}{n} = 2k\pi$ для некоторого целого $k$. Это возможно только при $n=1$ (когда $k=1$). В условии задачи подразумевается, что $n$ - натуральное число, большее или равное 2 (так как в сумме есть как минимум два члена, или в общем виде присутствует член с $3\pi/n$). Для $n \ge 2$, $0 < \frac{2\pi}{n} \le \pi$, поэтому $q \neq 1$, и формулу для суммы можно использовать.

Теперь вычислим $q^n$:

$q^n = (e^{i\frac{2\pi}{n}})^n = e^{i\frac{2\pi}{n} \cdot n} = e^{i2\pi}$

Используя формулу Эйлера, получаем:

$e^{i2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + i \cdot 0 = 1$

Подставим значение $q^n = 1$ в формулу для суммы `Z`:

$Z = a \frac{1 - 1}{q - 1} = a \frac{0}{q - 1} = 0$

Поскольку комплексная сумма `Z` равна 0, ее действительная часть $\text{Re}(Z)$ также равна нулю.

$S = \text{Re}(Z) = \text{Re}(0) = 0$

Таким образом, мы доказали, что исходное равенство верно для всех натуральных $n \ge 2$.

Стоит отметить, что для $n=1$ левая часть равенства состоит из одного члена $\cos(\pi) = -1$, что не равно 0.

Ответ: Равенство $\cos\frac{\pi}{n} + \cos\frac{3\pi}{n} + \dots + \cos\frac{(2n-1)\pi}{n} = 0$ доказано.