Вопросы?, страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. При каких значениях $b$ имеет корни уравнение $\cos x = b$?

2. Сколько корней имеет уравнение $\cos x = b$ при $|b| \le 1$?

3. Что называют арккосинусом числа $b$?

4. Какой вид имеет формула корней уравнения $\cos x = b$ при $|b| \le 1$?

1. При каких значениях b имеет корни уравнение cos x = b?

Уравнение $\cos x = b$ имеет корни тогда и только тогда, когда значение $b$ принадлежит области значений функции $y = \cos x$. Областью значений косинуса является отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, уравнение имеет корни только в том случае, если $b$ удовлетворяет неравенству $-1 \le b \le 1$. Это неравенство также можно записать с помощью модуля: $|b| \le 1$.
Ответ: Уравнение имеет корни при $|b| \le 1$, то есть при $b \in [-1, 1]$.

2. Сколько корней имеет уравнение cos x = b при |b| ≤ 1?

Функция косинус является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения $\cos x = b$, то числа вида $x_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число, также являются корнями этого уравнения. Поскольку для любого $b$ из отрезка $[-1, 1]$ существует хотя бы один корень, то уравнение $\cos x = b$ всегда имеет бесконечное множество корней.
Ответ: При $|b| \le 1$ уравнение имеет бесконечное множество корней.

3. Что называют арккосинусом числа b?

Арккосинусом числа $b$, где $|b| \le 1$, называется такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $b$. Обозначается как $\arccos b$. Таким образом, равенство $\alpha = \arccos b$ означает, что одновременно выполняются два условия: $\cos \alpha = b$ и $0 \le \alpha \le \pi$.
Ответ: Арккосинусом числа $b$ при $|b| \le 1$ называют число $\alpha \in [0, \pi]$, для которого $\cos \alpha = b$.

4. Какой вид имеет формула корней уравнения cos x = b при |b| ≤ 1?

Для решения уравнения $\cos x = b$ при $|b| \le 1$ находят все углы, косинус которых равен $b$. На единичной окружности таким значениям косинуса соответствуют две симметричные относительно оси абсцисс точки. Углы, соответствующие этим точкам, равны $\arccos b$ и $-\arccos b$. Учитывая периодичность функции косинус (период $2\pi$), все корни уравнения можно описать, прибавляя к этим значениям целое число полных оборотов ($2\pi k$). Таким образом, общая формула для всех корней уравнения объединяет эти два семейства решений.
Ответ: Формула корней уравнения $\cos x = b$ при $|b| \le 1$ имеет вид $x = \pm \arccos b + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).