Номер 27.28, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.28. Докажите неравенство $ \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \le \frac{1}{8} $, где $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника.

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан ($180^\circ$), и каждый угол строго больше нуля. То есть, $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ и $\alpha, \beta, \gamma \in (0, \pi)$.

Рассмотрим три возможных случая в зависимости от вида треугольника.

Случай 1: Тупоугольный треугольник.

Пусть один из углов, например $\gamma$, является тупым. Это означает, что $\gamma > \frac{\pi}{2}$. В этом случае его косинус будет отрицательным: $\cos\gamma < 0$. Поскольку сумма углов треугольника равна $\pi$, два других угла, $\alpha$ и $\beta$, обязаны быть острыми, то есть $\alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\beta < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, их косинусы положительны: $\cos\alpha > 0$ и $\cos\beta > 0$.
Произведение $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$ будет отрицательным, так как является произведением двух положительных чисел и одного отрицательного. Любое отрицательное число меньше, чем положительное число $\frac{1}{8}$, поэтому неравенство $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma \le \frac{1}{8}$ в этом случае очевидно выполняется.

Случай 2: Прямоугольный треугольник.

Пусть один из углов, например $\gamma$, является прямым. Это означает, что $\gamma = \frac{\pi}{2}$. В этом случае $\cos\gamma = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Тогда произведение равно нулю: $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \cos\alpha\cos\beta \cdot 0 = 0$.
Поскольку $0 \le \frac{1}{8}$, неравенство в этом случае также выполняется.

Случай 3: Остроугольный треугольник.

В этом случае все углы $\alpha, \beta, \gamma$ лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, и, следовательно, все их косинусы положительны.
Обозначим произведение $P = \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$.
Воспользуемся формулой произведения косинусов: $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$.
Тогда $P = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))\cos\gamma$.
Из условия, что $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, следует $\alpha+\beta = \pi - \gamma$. Подставим это в выражение: $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos\gamma$.
Теперь выражение для $P$ принимает вид:
$P = \frac{1}{2}(-\cos\gamma + \cos(\alpha-\beta))\cos\gamma = \frac{1}{2}\cos(\alpha-\beta)\cos\gamma - \frac{1}{2}\cos^2\gamma$.
Так как максимальное значение косинуса любого угла равно 1, то $\cos(\alpha-\beta) \le 1$.
Используя это, мы можем оценить $P$ сверху:
$P \le \frac{1}{2}(1)\cos\gamma - \frac{1}{2}\cos^2\gamma = \frac{1}{2}(\cos\gamma - \cos^2\gamma)$.
Рассмотрим функцию $f(t) = t - t^2$, где $t = \cos\gamma$. Так как $\gamma$ — острый угол, $t = \cos\gamma \in (0, 1)$. Нам нужно найти максимальное значение этой функции на данном интервале.
Графиком функции $f(t) = -t^2 + t$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Её максимум достигается в вершине. Абсцисса вершины $t_v = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$.
Максимальное значение функции $f(t)$ равно $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
Таким образом, максимальное значение выражения $\cos\gamma - \cos^2\gamma$ равно $\frac{1}{4}$.
Подставим это значение в нашу оценку для $P$:
$P \le \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.
Равенство достигается, когда все использованные для оценки неравенства превращаются в равенства, то есть:
1. $\cos(\alpha-\beta) = 1 \implies \alpha - \beta = 0 \implies \alpha = \beta$.
2. $\cos\gamma = \frac{1}{2} \implies \gamma = \frac{\pi}{3}$ (или $60^\circ$).
Из $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ и условий $\alpha = \beta$, $\gamma = \frac{\pi}{3}$ получаем $2\alpha + \frac{\pi}{3} = \pi \implies 2\alpha = \frac{2\pi}{3} \implies \alpha = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, равенство достигается при $\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}$, то есть для равностороннего треугольника.

Мы рассмотрели все возможные типы треугольников и показали, что в каждом из них неравенство выполняется. Таким образом, неравенство $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma \le \frac{1}{8}$ доказано для любых углов треугольника.

Ответ: Неравенство доказано.