Номер 28.2, страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.2. Решите уравнение:

1) $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2};$

2) $cos x = -\frac{1}{2};$

3) $cos x = \frac{\sqrt{5}}{2};$

4) $cos x = \frac{4}{7}.$

1) $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos x = a$. Общее решение для таких уравнений, при условии $|a| \le 1$, находится по формуле: $x = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$ (Z - множество целых чисел).

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $|\frac{\sqrt{3}}{2}| \le 1$.

Значение $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ является табличным и равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$.

2) $cos x = -\frac{1}{2}$

Используем общую формулу решения $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in Z$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$. Условие $|-\frac{1}{2}| \le 1$ выполняется.

Для нахождения $arccos(-\frac{1}{2})$ воспользуемся свойством арккосинуса: $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$.

Так как $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ (табличное значение), получаем:

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.

3) $cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Область значений функции косинус $y = cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что уравнение $cos x = a$ имеет решения только в том случае, если $|a| \le 1$.

В данном уравнении $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Оценим значение $a$. Поскольку $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{2}{2} = 1$.

Так как значение $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$, оно не входит в область значений функции косинуса. Таким образом, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

4) $cos x = \frac{4}{7}$

Используем общую формулу решения $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in Z$.

Здесь $a = \frac{4}{7}$.

Проверим условие $|a| \le 1$. Так как $0 < \frac{4}{7} < 1$, условие выполняется, и уравнение имеет решения.

Значение $\frac{4}{7}$ не является табличным для косинуса, поэтому ответ выражается через функцию арккосинус.

Подставляем $a = \frac{4}{7}$ в общую формулу:

$x = \pm arccos(\frac{4}{7}) + 2\pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm arccos(\frac{4}{7}) + 2\pi n, n \in Z$.