Страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. При каких значениях $b$ имеет корни уравнение $\cos x = b$?

2. Сколько корней имеет уравнение $\cos x = b$ при $|b| \le 1$?

3. Что называют арккосинусом числа $b$?

4. Какой вид имеет формула корней уравнения $\cos x = b$ при $|b| \le 1$?

1. При каких значениях b имеет корни уравнение cos x = b?

Уравнение $\cos x = b$ имеет корни тогда и только тогда, когда значение $b$ принадлежит области значений функции $y = \cos x$. Областью значений косинуса является отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, уравнение имеет корни только в том случае, если $b$ удовлетворяет неравенству $-1 \le b \le 1$. Это неравенство также можно записать с помощью модуля: $|b| \le 1$.
Ответ: Уравнение имеет корни при $|b| \le 1$, то есть при $b \in [-1, 1]$.

2. Сколько корней имеет уравнение cos x = b при |b| ≤ 1?

Функция косинус является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения $\cos x = b$, то числа вида $x_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число, также являются корнями этого уравнения. Поскольку для любого $b$ из отрезка $[-1, 1]$ существует хотя бы один корень, то уравнение $\cos x = b$ всегда имеет бесконечное множество корней.
Ответ: При $|b| \le 1$ уравнение имеет бесконечное множество корней.

3. Что называют арккосинусом числа b?

Арккосинусом числа $b$, где $|b| \le 1$, называется такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $b$. Обозначается как $\arccos b$. Таким образом, равенство $\alpha = \arccos b$ означает, что одновременно выполняются два условия: $\cos \alpha = b$ и $0 \le \alpha \le \pi$.
Ответ: Арккосинусом числа $b$ при $|b| \le 1$ называют число $\alpha \in [0, \pi]$, для которого $\cos \alpha = b$.

4. Какой вид имеет формула корней уравнения cos x = b при |b| ≤ 1?

Для решения уравнения $\cos x = b$ при $|b| \le 1$ находят все углы, косинус которых равен $b$. На единичной окружности таким значениям косинуса соответствуют две симметричные относительно оси абсцисс точки. Углы, соответствующие этим точкам, равны $\arccos b$ и $-\arccos b$. Учитывая периодичность функции косинус (период $2\pi$), все корни уравнения можно описать, прибавляя к этим значениям целое число полных оборотов ($2\pi k$). Таким образом, общая формула для всех корней уравнения объединяет эти два семейства решений.
Ответ: Формула корней уравнения $\cos x = b$ при $|b| \le 1$ имеет вид $x = \pm \arccos b + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).

28.1. Решите уравнение:

1) $\cos x = \frac{1}{2};$

2) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$

3) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $\cos x = \frac{1}{3};$

5) $\cos x = \frac{\pi}{3};$

6) $\cos x = \frac{\pi}{4}.$

1)

Дано уравнение $cos x = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos x = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $x = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса для этого числа является табличным:

$arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу для решения уравнений вида $cos x = a$: $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение.

$arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общая формула решения: $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Так как $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$ (табличное значение), получаем:

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано уравнение $cos x = \frac{1}{3}$.

Применяем общую формулу решения $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{1}{3}$. Так как $| \frac{1}{3} | \le 1$, уравнение имеет решения.

Число $\frac{1}{3}$ не является табличным значением для косинуса, поэтому решение записывается через арккосинус.

$x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5)

Дано уравнение $cos x = \frac{\pi}{3}$.

Область значений функции косинуса $y = cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого значения $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le cos x \le 1$.

В данном уравнении $cos x$ должен быть равен $\frac{\pi}{3}$.

Оценим значение числа $\frac{\pi}{3}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} \approx 1.047$.

Так как $\frac{\pi}{3} > 1$, это значение не входит в область значений функции косинуса.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

6)

Дано уравнение $cos x = \frac{\pi}{4}$.

Проверим, имеет ли уравнение решение. Для этого нужно убедиться, что правая часть уравнения по модулю не превышает 1.

Оценим значение $\frac{\pi}{4}$. Используя $\pi \approx 3.14159$, имеем:

$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.

Так как $-1 \le \frac{\pi}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.

Используем общую формулу $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$, где $a = \frac{\pi}{4}$.

Поскольку $\frac{\pi}{4}$ не является стандартным табличным значением, для которого известен угол, ответ записывается через арккосинус.

$x = \pm arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

28.2. Решите уравнение:

1) $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2};$

2) $cos x = -\frac{1}{2};$

3) $cos x = \frac{\sqrt{5}}{2};$

4) $cos x = \frac{4}{7}.$

1) $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos x = a$. Общее решение для таких уравнений, при условии $|a| \le 1$, находится по формуле: $x = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$ (Z - множество целых чисел).

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $|\frac{\sqrt{3}}{2}| \le 1$.

Значение $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ является табличным и равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$.

2) $cos x = -\frac{1}{2}$

Используем общую формулу решения $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in Z$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$. Условие $|-\frac{1}{2}| \le 1$ выполняется.

Для нахождения $arccos(-\frac{1}{2})$ воспользуемся свойством арккосинуса: $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$.

Так как $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ (табличное значение), получаем:

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.

3) $cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Область значений функции косинус $y = cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что уравнение $cos x = a$ имеет решения только в том случае, если $|a| \le 1$.

В данном уравнении $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Оценим значение $a$. Поскольку $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{2} > \frac{2}{2} = 1$.

Так как значение $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$, оно не входит в область значений функции косинуса. Таким образом, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

4) $cos x = \frac{4}{7}$

Используем общую формулу решения $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in Z$.

Здесь $a = \frac{4}{7}$.

Проверим условие $|a| \le 1$. Так как $0 < \frac{4}{7} < 1$, условие выполняется, и уравнение имеет решения.

Значение $\frac{4}{7}$ не является табличным для косинуса, поэтому ответ выражается через функцию арккосинус.

Подставляем $a = \frac{4}{7}$ в общую формулу:

$x = \pm arccos(\frac{4}{7}) + 2\pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm arccos(\frac{4}{7}) + 2\pi n, n \in Z$.

28.3. Решите уравнение:

1) $cos 3x = -\frac{1}{2}$;

2) $cos \frac{5}{6} x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $cos 6x = 1$;

4) $cos \frac{2\pi x}{3} = 0$;

5) $cos 9x = -\frac{1}{5}$;

6) $cos \left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Решим уравнение $cos(3x) = -\frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 3x$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Найдем $arccos(-\frac{1}{2})$. Мы знаем, что $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$. Так как $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \pm \frac{2\pi}{3 \cdot 3} + \frac{2\pi k}{3} = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $cos(\frac{5}{6}x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = \frac{5}{6}x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем в формулу:
$\frac{5}{6}x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{6}{5}$:
$x = \frac{6}{5} \cdot (\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k) = \pm \frac{6\pi}{5 \cdot 6} + \frac{6 \cdot 2\pi k}{5} = \pm \frac{\pi}{5} + \frac{12\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{5} + \frac{12\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $cos(6x) = 1$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Равенство $cos(t) = 1$ выполняется, когда $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 6x$.
$6x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 6:
$x = \frac{2\pi k}{6} = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $cos(\frac{2\pi x}{3}) = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Равенство $cos(t) = 0$ выполняется, когда $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{2\pi x}{3}$.
$\frac{2\pi x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{2\pi}$:
$x = \frac{3}{2\pi} \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{3\pi}{2\pi \cdot 2} + \frac{3\pi k}{2\pi} = \frac{3}{4} + \frac{3k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3}{4} + \frac{3k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $cos(9x) = -\frac{1}{5}$.
Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = 9x$ и $a = -\frac{1}{5}$.
Значение $arccos(-\frac{1}{5})$ не является табличным, поэтому оставляем его в таком виде.
$9x = \pm arccos(-\frac{1}{5}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 9:
$x = \pm \frac{1}{9}arccos(-\frac{1}{5}) + \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{9}arccos(-\frac{1}{5}) + \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $cos(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Так как функция косинус является четной, то $cos(-t) = cos(t)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде:
$cos(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Значение $arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$ не является табличным, поэтому оставляем его в таком виде.
$\frac{x}{3} = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части на 3:
$x = \pm 3arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm 3arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.