Страница 212 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. При каких значениях $b$ имеет корни уравнение $\sin x = b$?

2. Сколько корней имеет уравнение $\sin x = b$ при $|b| \le 1$?

3. Что называют арксинусом числа $b$?

4. Какой вид имеет формула корней уравнения $\sin x = b$ при $|b| \le 1$?

1. При каких значениях b имеет корни уравнение sin x = b?

Функция синуса, $y = \sin x$, определена для всех действительных чисел $x$, а ее область значений — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что синус любого угла может принимать значения только в этом диапазоне. Следовательно, уравнение $\sin x = b$ будет иметь решение (корни) только в том случае, если число $b$ принадлежит этому отрезку.

Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le b \le 1$, или с помощью модуля: $|b| \le 1$.

Ответ: Уравнение $\sin x = b$ имеет корни при $b \in [-1, 1]$, то есть при $|b| \le 1$.

2. Сколько корней имеет уравнение sin x = b при |b| ≤ 1?

Функция синуса является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения $\sin x = b$, то и числа вида $x_0 + 2\pi n$ (где $n$ — любое целое число) также будут корнями этого уравнения. Поскольку множество целых чисел бесконечно, то и корней у уравнения будет бесконечно много.

Например, если рассмотреть уравнение на промежутке $[0, 2\pi)$, то при $|b| < 1$ уравнение имеет два корня, а при $|b| = 1$ — один корень. Но так как к любому найденному корню можно прибавлять целое число периодов ($2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$), общее число корней уравнения $\sin x = b$ при $|b| \le 1$ является бесконечным.

Ответ: Бесконечно много.

3. Что называют арксинусом числа b?

Арксинусом числа $b$, где $|b| \le 1$, называется такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[-\pi/2, \pi/2]$, синус которого равен $b$.

Таким образом, запись $\alpha = \arcsin b$ равносильна выполнению двух условий одновременно: во-первых, $\sin \alpha = b$, и во-вторых, $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Арксинусом числа $b$ ($|b| \le 1$) называют число $\alpha$ из отрезка $[-\pi/2, \pi/2]$, для которого $\sin \alpha = b$.

4. Какой вид имеет формула корней уравнения sin x = b при |b| ≤ 1?

Для решения уравнения $\sin x = b$ при $|b| \le 1$ используется понятие арксинуса. Все корни (решения) этого уравнения можно найти с помощью общей формулы.

На единичной окружности значению синуса, равному $b$, соответствуют две точки. Углы, соответствующие этим точкам, равны $\arcsin b$ и $\pi - \arcsin b$. Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, то все решения можно записать в виде двух серий:

$x = \arcsin b + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - \arcsin b + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Эти две серии можно объединить в одну общую формулу:

$x = (-1)^n \arcsin b + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Действительно, при четном $n$ (например, $n=2k$) получаем $x = (-1)^{2k} \arcsin b + 2\pi k = \arcsin b + 2\pi k$, что соответствует первой серии. При нечетном $n$ (например, $n=2k+1$) получаем $x = (-1)^{2k+1} \arcsin b + (2k+1)\pi = -\arcsin b + 2\pi k + \pi = \pi - \arcsin b + 2\pi k$, что соответствует второй серии.

Ответ: Формула корней уравнения $\sin x = b$ при $|b| \le 1$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin b + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.