Страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.7. Решите уравнение:

$1) tg \frac{\pi}{x} = 0;$ $2) ctg \frac{\pi}{\sqrt{x}} = 1;$ $3) tg (\pi \sin x) = \sqrt{3}.$

1) Уравнение $tg(\frac{\pi}{x}) = 0$ равносильно тому, что его аргумент равен $\pi n$ для любого целого $n$.
$\frac{\pi}{x} = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При этом необходимо учесть область определения: знаменатель $x$ не должен быть равен нулю, а аргумент тангенса $\frac{\pi}{x}$ не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.
Из уравнения $\frac{\pi}{x} = \pi n$ видно, что $n$ не может быть равно 0, так как иначе левая часть не определена. Таким образом, $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.
Разделив обе части на $\pi$, получаем:
$\frac{1}{x} = n$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{1}{n}$
Проверим условие области определения тангенса. Аргумент $\frac{\pi}{x} = \pi n$. Так как $n$ — целое число, $\pi n$ никогда не будет равно $\frac{\pi}{2} + \pi k$, потому что $\pi n$ является целым кратным $\pi$, а $\frac{\pi}{2} + \pi k$ — нет.
Ответ: $x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.

2) Уравнение $ctg(\frac{\pi}{\sqrt{x}}) = 1$ равносильно тому, что его аргумент равен $\frac{\pi}{4} + \pi n$ для любого целого $n$.
$\frac{\pi}{\sqrt{x}} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Область определения требует, чтобы подкоренное выражение было положительным (так как оно в знаменателе): $x > 0$.
Если $x > 0$, то $\sqrt{x} > 0$ и левая часть уравнения $\frac{\pi}{\sqrt{x}}$ строго положительна. Следовательно, правая часть также должна быть положительной:
$\frac{\pi}{4} + \pi n > 0$
$\frac{1}{4} + n > 0$
$n > -\frac{1}{4}$
Поскольку $n$ — целое число, это означает, что $n$ может быть любым целым неотрицательным числом ($n=0, 1, 2, ...$).
Теперь решим уравнение относительно $x$. Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{4} + n = \frac{1+4n}{4}$
Выразим $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = \frac{4}{1+4n}$
Возведем обе части в квадрат:
$x = \left(\frac{4}{1+4n}\right)^2 = \frac{16}{(1+4n)^2}$
Область определения котангенса требует, чтобы его аргумент $\frac{\pi}{\sqrt{x}}$ не был равен $\pi k$ для целого $k$. Наше решение $\frac{\pi}{\sqrt{x}} = \frac{\pi}{4} + \pi n$ этому условию удовлетворяет.
Ответ: $x = \frac{16}{(1+4n)^2}, n \in \mathbb{Z}, n \geq 0$.

3) Уравнение $tg(\pi \sin x) = \sqrt{3}$ равносильно тому, что его аргумент равен $\frac{\pi}{3} + \pi n$ для любого целого $n$.
$\pi \sin x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на $\pi$:
$\sin x = \frac{1}{3} + n$
Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому должно выполняться двойное неравенство:
$-1 \le \frac{1}{3} + n \le 1$
Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей неравенства:
$-1 - \frac{1}{3} \le n \le 1 - \frac{1}{3}$
$-\frac{4}{3} \le n \le \frac{2}{3}$
Единственные целые числа $n$, удовлетворяющие этому неравенству, — это $n=0$ и $n=-1$.
Рассмотрим оба случая:
1. При $n=0$:
$\sin x = \frac{1}{3}$
Решения этого уравнения имеют вид: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. При $n=-1$:
$\sin x = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$
Решения этого уравнения имеют вид: $x = (-1)^m \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi m$. Используя свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем: $x = (-1)^{m+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Проверка области определения тангенса ($\pi \sin x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$) показывает, что $\sin x$ не должен быть равен $\frac{1}{2} + k$. Наши значения $\frac{1}{3}$ и $-\frac{2}{3}$ этому условию удовлетворяют.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{m+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

30.8. Решите уравнение:

1) $\operatorname{ctg} \frac{2\pi}{5x} = 1;$

2) $\operatorname{tg} \frac{1}{\sqrt{x}} = -1;$

3) $\operatorname{ctg} (\pi \cos x) = 1.$

1) $ctg\frac{2\pi}{5x} = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ctg(y) = a$. Его решение находится по формуле $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае аргумент $y = \frac{2\pi}{5x}$ и $a = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{2\pi}{5x} = arcctg(1) + \pi n$

Поскольку $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$\frac{2\pi}{5x} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Вынесем $\pi$ за скобки в правой части:

$\frac{2\pi}{5x} = \pi \left(\frac{1}{4} + n\right)$

Разделим обе части уравнения на $\pi$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{2}{5x} = \frac{1}{4} + n$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{2}{5x} = \frac{1 + 4n}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции, чтобы выразить $x$:

$5x(1+4n) = 2 \cdot 4$

$5x(1+4n) = 8$

$x = \frac{8}{5(1+4n)}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $5x \neq 0$, то есть $x \neq 0$, и аргумент котангенса $\frac{2\pi}{5x} \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Наши решения удовлетворяют этим условиям, так как $1+4n \neq 0$ для целых $n$.

Ответ: $x = \frac{8}{5(1+4n)}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $tg\frac{1}{\sqrt{x}} = -1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $tg(y) = a$. Его решение находится по формуле $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ и $a = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = arctg(-1) + \pi n$

Поскольку $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x > 0$.

Из условия $x > 0$ следует, что $\sqrt{x} > 0$ и $\frac{1}{\sqrt{x}} > 0$. Следовательно, правая часть нашего уравнения также должна быть положительной:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n > 0$

$\pi n > \frac{\pi}{4}$

$n > \frac{1}{4}$

Так как $n$ — целое число, то $n$ может принимать значения $1, 2, 3, ...$. То есть $n \in \mathbb{N}$.

Теперь выразим $x$ из уравнения $\frac{1}{\sqrt{x}} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{-\frac{\pi}{4} + \pi n} = \frac{1}{\pi(n - \frac{1}{4})} = \frac{4}{\pi(4n-1)}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = \left(\frac{4}{\pi(4n-1)}\right)^2 = \frac{16}{\pi^2(4n-1)^2}$, где $n \in \mathbb{N}$.

Ответ: $x = \frac{16}{\pi^2(4n-1)^2}$, $n \in \mathbb{N}$.

3) $ctg(\pi \cos x) = 1$

Решаем это уравнение по аналогии с первым. Решение уравнения $ctg(y) = 1$ имеет вид $y = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = \pi \cos x$.

Получаем уравнение:

$\pi \cos x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на $\pi$:

$\cos x = \frac{1}{4} + n$

Мы знаем, что область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Поэтому должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le \frac{1}{4} + n \le 1$

Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей неравенства:

$-1 - \frac{1}{4} \le n \le 1 - \frac{1}{4}$

$-\frac{5}{4} \le n \le \frac{3}{4}$

$-1.25 \le n \le 0.75$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, возможны только два значения: $n = -1$ и $n = 0$.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $n = 0$.

$\cos x = \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4}$.

Решение этого уравнения: $x = \pm arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $n = -1$.

$\cos x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.

Решение этого уравнения: $x = \pm arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ. ОДЗ: аргумент котангенса $\pi \cos x \neq \pi k$, т.е. $\cos x \neq k$. Поскольку $|\cos x| \le 1$, то $k$ может быть $-1, 0, 1$. Наши решения $\cos x = 1/4$ и $\cos x = -3/4$ удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $x = \pm arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ $x = \pm arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

30.9. При каких значениях параметра a имеет решения уравнение:

1) $\frac{\operatorname{tg} x - a}{\operatorname{ctg} x + 3} = 0;$

2) $\frac{\sin x - a}{3\operatorname{tg}^2 x - 1} = 0?$

Данное уравнение $\frac{\tg x - a}{\ctg x + 3} = 0$ имеет решения тогда и только тогда, когда существует такое значение $x$, для которого числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля и определен. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \tg x - a = 0 \\ \ctg x + 3 \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \quad (\text{чтобы } \ctg x \text{ был определен}) \\ \cos x \neq 0 \quad (\text{чтобы } \tg x \text{ был определен}) \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $\tg x = a$. Уравнение $\tg x = a$ имеет решения для любого действительного значения $a$.

Условие $\sin x \neq 0$ означает, что $\tg x \neq 0$. Следовательно, $a \neq 0$. Если $a=0$, то $\tg x=0$, что приводит к $x=\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Для этих значений $x$ котангенс не определен, а значит, и исходное уравнение не имеет смысла.

Условие $\cos x \neq 0$ выполняется для любого конечного значения $a=\tg x$.

Рассмотрим условие $\ctg x + 3 \neq 0$. Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$ (при $\tg x \neq 0$, что мы уже учли), можем подставить $\tg x = a$:

$\frac{1}{a} + 3 \neq 0$

$\frac{1}{a} \neq -3$

$a \neq -\frac{1}{3}$

Таким образом, для того чтобы исходное уравнение имело решение, параметр $a$ должен быть любым действительным числом, кроме $0$ и $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; 0) \cup (0; +\infty)$.

Уравнение $\frac{\sin x - a}{3\tg^2 x - 1} = 0$ имеет решения, если существует такое значение $x$, для которого числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля и определен. Запишем систему условий:

$\begin{cases} \sin x - a = 0 \\ 3\tg^2 x - 1 \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \quad (\text{чтобы } \tg x \text{ был определен}) \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $\sin x = a$. Это уравнение имеет решения только при условии $|a| \le 1$, то есть $a \in [-1, 1]$.

Условие $\cos x \neq 0$ означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x$ принимает значения $1$ и $-1$. Следовательно, если $a=1$ или $a=-1$, то любое решение уравнения $\sin x = a$ будет таким, что $\cos x = 0$. Для этих значений $x$ тангенс не определен, значит, знаменатель исходного уравнения не определен. Поэтому значения $a=1$ и $a=-1$ необходимо исключить. Получаем более строгое условие: $|a| < 1$, то есть $a \in (-1, 1)$.

Рассмотрим условие $3\tg^2 x - 1 \neq 0$, или $\tg^2 x \neq \frac{1}{3}$.

Выразим $\tg^2 x$ через $\sin x$, используя тождество $\tg^2 x = \frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}$ (которое справедливо, так как $\cos x \neq 0$). Подставляя $\sin x = a$, получаем:

$\frac{a^2}{1-a^2} \neq \frac{1}{3}$

Поскольку $a \in (-1, 1)$, знаменатель $1-a^2 > 0$. Умножим обе части неравенства на $3(1-a^2)$:

$3a^2 \neq 1-a^2$

$4a^2 \neq 1$

$a^2 \neq \frac{1}{4}$

Отсюда $a \neq \frac{1}{2}$ и $a \neq -\frac{1}{2}$.

Объединяя все условия, получаем, что параметр $a$ должен принадлежать интервалу $(-1, 1)$, но не должен быть равен $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in (-1; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1)$.

30.10. При каких значениях параметра $a$ имеет решения уравнение:

1) $\frac{\operatorname{ctg} x + a}{\operatorname{tg} x - 2} = 0;$

2) $\frac{\cos x - a}{\operatorname{ctg}^2 x - 3} = 0?$

1)

Данное уравнение $\frac{\ctg x + a}{\tg x - 2} = 0$ имеет решения тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, и все входящие в уравнение функции определены.

Это равносильно системе условий:

$\begin{cases} \ctg x + a = 0, \\ \tg x - 2 \neq 0, \\ \sin x \neq 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $\ctg x = -a$.

Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, то, при условии что $\tg x$ существует и не равен нулю, можно записать $\tg x = -\frac{1}{a}$. Это преобразование возможно только при $a \neq 0$.

Рассмотрим случай $a=0$. Уравнение принимает вид $\ctg x = 0$. Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Однако при этих значениях $x$ тангенс не определен (так как $\cos x = 0$), поэтому знаменатель исходного уравнения не определен. Следовательно, при $a=0$ решений нет.

Рассмотрим случай $a \neq 0$. В этом случае из $\ctg x = -a$ следует, что $\tg x = -\frac{1}{a}$. Уравнение $\tg x = -\frac{1}{a}$ всегда имеет решение для любого $a \neq 0$. Для этого решения будут определены и $\tg x$, и $\ctg x$.

Теперь нужно учесть условие, что знаменатель не равен нулю: $\tg x - 2 \neq 0$.

Подставим найденное выражение для $\tg x$:

$-\frac{1}{a} - 2 \neq 0$

$-\frac{1}{a} \neq 2$

$a \neq -\frac{1}{2}$

Итак, уравнение имеет решения при выполнении двух условий: $a \neq 0$ и $a \neq -\frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; +\infty)$.

2)

Уравнение $\frac{\cos x - a}{\ctg^2 x - 3} = 0$ имеет решения, если его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, и все функции в уравнении определены.

Это равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x - a = 0, \\ \ctg^2 x - 3 \neq 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $\cos x = a$.

Для того чтобы уравнение $\cos x = a$ имело решения, необходимо, чтобы $a$ принадлежало области значений функции косинус, то есть $a \in [-1; 1]$.

Третье условие $\sin x \neq 0$ означает, что котангенс определен. Так как $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, то условие $\sin x \neq 0$ равносильно $1 - \cos^2 x \neq 0$. Подставляя $\cos x = a$, приходим к условию $1 - a^2 \neq 0$, откуда $a \neq 1$ и $a \neq -1$.

Таким образом, с учетом первого и третьего условий, параметр $a$ должен принадлежать интервалу $(-1; 1)$.

Теперь рассмотрим второе условие: $\ctg^2 x - 3 \neq 0$.

Выразим $\ctg^2 x$ через $\cos x = a$:

$\ctg^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{a^2}{1 - a^2}$.

Подставим это в неравенство:

$\frac{a^2}{1 - a^2} - 3 \neq 0$

$\frac{a^2 - 3(1 - a^2)}{1 - a^2} \neq 0$

$\frac{4a^2 - 3}{1 - a^2} \neq 0$

Так как мы уже установили, что $1 - a^2 \neq 0$, это неравенство равносильно тому, что числитель не равен нулю: $4a^2 - 3 \neq 0$.

$4a^2 \neq 3 \Rightarrow a^2 \neq \frac{3}{4} \Rightarrow a \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба значения $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ принадлежат интервалу $(-1; 1)$, поэтому их нужно исключить.

Следовательно, для существования решений необходимо, чтобы параметр $a$ удовлетворял всем найденным условиям: $a \in (-1; 1)$, $a \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $a \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $a \in (-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.

30.11. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x+a)(\operatorname{tg} x-\sqrt{3})=0$ на промежутке $\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ имеет единственный корень?

Данное уравнение $(x + a)(\mathrm{tg}\,x - \sqrt{3}) = 0$ рассматривается на промежутке $(0; \frac{\pi}{2}]$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Функция $\mathrm{tg}\,x$ определена при всех $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На заданном промежутке $(0; \frac{\pi}{2}]$ есть одна такая точка: $x = \frac{\pi}{2}$. Поскольку тангенс в этой точке не определен, мы должны исключить ее из рассмотрения. Таким образом, мы ищем корни на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$.

Уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это равносильно тому, что хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что все выражения в уравнении определены. Таким образом, уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$: $$ \left[ \begin{array}{l} x + a = 0 \\ \mathrm{tg}\,x - \sqrt{3} = 0 \end{array} \right. $$ при условии $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Рассмотрим каждое уравнение из этой совокупности.

1. Уравнение $\mathrm{tg}\,x - \sqrt{3} = 0 \implies \mathrm{tg}\,x = \sqrt{3}$. Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Нам нужно найти корень, принадлежащий интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$. При $n = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{3}$. Так как $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$, этот корень подходит. При других целых значениях $n$ корни не попадают в указанный интервал. Следовательно, независимо от значения параметра $a$, уравнение всегда имеет один корень $x_1 = \frac{\pi}{3}$ на данном промежутке.

2. Уравнение $x + a = 0 \implies x = -a$. Обозначим этот потенциальный корень как $x_2 = -a$.

Для того чтобы исходное уравнение имело единственный корень на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, необходимо, чтобы корень $x_2 = -a$ либо совпадал с уже найденным корнем $x_1 = \frac{\pi}{3}$, либо не принадлежал этому интервалу.

Случай 1: Корни совпадают

Корень $x_2$ совпадает с корнем $x_1$. $x_2 = x_1 \implies -a = \frac{\pi}{3} \implies a = -\frac{\pi}{3}$. При этом значении $a$ оба множителя обращаются в ноль при $x = \frac{\pi}{3}$, и это единственный корень на заданном интервале. Следовательно, $a = -\frac{\pi}{3}$ является решением.

Случай 2: Корень $x_2$ не принадлежит интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$

В этом случае единственным корнем уравнения на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ будет $x_1 = \frac{\pi}{3}$. Условие $x_2 \notin (0; \frac{\pi}{2})$ означает, что $-a \le 0$ или $-a \ge \frac{\pi}{2}$. Рассмотрим эти два неравенства:

• $-a \le 0 \implies a \ge 0$.
• $-a \ge \frac{\pi}{2} \implies a \le -\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, при $a \in (-\infty; -\frac{\pi}{2}] \cup [0; +\infty)$ второй корень $x_2 = -a$ не попадает в интервал $(0; \frac{\pi}{2})$, и уравнение имеет единственный корень $x_1 = \frac{\pi}{3}$.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы находим все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет ровно один корень на заданном промежутке.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{\pi}{2}] \cup \{-\frac{\pi}{3}\} \cup [0; +\infty)$.

30.12. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x - a)(\operatorname{tg} x + 1) = 0$ на промежутке $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right)$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение $(x-a)(\tg x + 1) = 0$ на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0)$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x - a = 0$

2) $\tg x + 1 = 0$

При этом необходимо учесть область определения тангенса: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. На заданном промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0)$ это означает, что $x \neq -\frac{\pi}{2}$. Следовательно, мы ищем решения на интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

Рассмотрим второе уравнение: $\tg x + 1 = 0$, откуда $\tg x = -1$.

Общее решение этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдём корень, принадлежащий интервалу $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

При $n=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{4}$. Так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < 0$, этот корень принадлежит указанному интервалу.

При других целых значениях $n$ корни не попадают в данный интервал. Следовательно, уравнение $\tg x + 1 = 0$ имеет ровно один корень $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ на рассматриваемом промежутке.

Теперь рассмотрим первое уравнение: $x - a = 0$, которое имеет корень $x_2 = a$.

Для того чтобы исходное уравнение имело единственный корень на интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, необходимо, чтобы корень $x_2=a$ либо совпадал с уже найденным корнем $x_1 = -\frac{\pi}{4}$, либо не принадлежал этому интервалу.

Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: Корни совпадают.

$x_2 = x_1$, то есть $a = -\frac{\pi}{4}$. В этом случае единственным корнем уравнения на заданном интервале будет $x = -\frac{\pi}{4}$. Значение $a = -\frac{\pi}{4}$ является решением.

Случай 2: Корень $x_2 = a$ не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

Это означает, что $a \notin (-\frac{\pi}{2}; 0)$, то есть $a \le -\frac{\pi}{2}$ или $a \ge 0$. При таких значениях $a$ уравнение $x-a=0$ не имеет корней в интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, и единственным корнем исходного уравнения на этом интервале остаётся $x_1 = -\frac{\pi}{4}$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все значения параметра $a$, при которых исходное уравнение имеет единственный корень на заданном промежутке.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{\pi}{2}] \cup [0; +\infty) \cup \{-\frac{\pi}{4}\}$.