Страница 218 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. При каких значениях $b$ имеет корни уравнение $\operatorname{tg} x = b; \operatorname{ctg} x = b$?

2. Сколько корней имеет уравнение $\operatorname{tg} x = b; \operatorname{ctg} x = b$?

3. Что называют арктангенсом числа $b$; арккотангенсом числа $b$?

4. Какой вид имеет формула корней уравнения $\operatorname{tg} x = b; \operatorname{ctg} x = b$?

1. При каких значениях b имеет корни уравнение tg x = b; ctg x = b?

Уравнения $tg x = b$ и $ctg x = b$ имеют корни при любых действительных значениях $b$. Это следует из того, что область значений тригонометрических функций тангенса и котангенса — это множество всех действительных чисел.
Для функции $y = tg x$ область значений $E(tg) = (-\infty; +\infty)$.
Для функции $y = ctg x$ область значений $E(ctg) = (-\infty; +\infty)$.
Таким образом, какую бы горизонтальную прямую $y=b$ мы ни провели на графике, она всегда пересечет графики функций $y = tg x$ и $y = ctg x$.
Ответ: уравнения имеют корни при любом действительном значении $b$, то есть $b \in \mathbb{R}$.

2. Сколько корней имеет уравнение tg x = b; ctg x = b?

Уравнения $tg x = b$ и $ctg x = b$ имеют бесконечное множество корней для любого действительного числа $b$. Это связано с периодичностью функций тангенса и котангенса.
Наименьший положительный период для обеих функций ($tg x$ и $ctg x$) равен $\pi$. Это означает, что если $x_0$ является решением уравнения (например, $tg x_0 = b$), то все числа вида $x_0 + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$), также будут решениями. Поскольку множество целых чисел бесконечно, то и количество корней у каждого из уравнений бесконечно.
Ответ: бесконечно много корней.

3. Что называют арктангенсом числа b; арккотангенсом числа b?

Арктангенсом числа $b$ (обозначается $arctg\;b$) называют такое число $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $b$. Таким образом, равенство $arctg\;b = \alpha$ означает, что выполняются два условия:
1) $tg\;\alpha = b$
2) $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$

Арккотангенсом числа $b$ (обозначается $arcctg\;b$) называют такое число $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $b$. Таким образом, равенство $arcctg\;b = \alpha$ означает, что выполняются два условия:
1) $ctg\;\alpha = b$
2) $0 < \alpha < \pi$
Ответ: Арктангенс числа $b$ — это угол в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $b$. Арккотангенс числа $b$ — это угол в интервале $(0; \pi)$, котангенс которого равен $b$.

4. Какой вид имеет формула корней уравнения tg x = b; ctg x = b?

Формулы для нахождения всех корней (решений) тригонометрических уравнений $tg x = b$ и $ctg x = b$ используют понятия арктангенса и арккотангенса, а также учитывают периодичность этих функций.

Для уравнения $tg x = b$:
Один из корней уравнения — это $x = arctg\;b$. Так как период тангенса равен $\pi$, то все остальные корни получаются прибавлением к этому значению целого числа периодов. Формула для всех корней имеет вид:
$x = arctg\;b + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Для уравнения $ctg x = b$:
Один из корней уравнения — это $x = arcctg\;b$. Так как период котангенса также равен $\pi$, то формула для всех корней имеет аналогичный вид:
$x = arcctg\;b + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$
Ответ: для $tg x = b$ формула корней: $x = arctg\;b + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; для $ctg x = b$ формула корней: $x = arcctg\;b + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

30.1. Решите уравнение:

1) $tg x = \sqrt{3}$;

2) $tg x = -1$;

3) $tg x = 5$;

4) $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

5) $ctg x = -\sqrt{3}$;

6) $ctg x = 0$.

1) tg $x = \sqrt{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида tg $x = a$ записывается по формуле $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$. Значение арктангенса для $\sqrt{3}$ является табличным: $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) tg $x = -1$

Используем общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -1$. Для нахождения значения арктангенса отрицательного числа используем свойство нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$.

$\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.

Табличное значение $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) tg $x = 5$

Применяем общую формулу для тангенса: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении $a = 5$. Число 5 не является табличным значением для тангенса, поэтому решение записывается через арктангенс.

$x = \text{arctg}(5) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) ctg $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Общее решение для уравнения вида ctg $x = a$ записывается по формуле $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это табличное значение для котангенса.

$\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) ctg $x = -\sqrt{3}$

Используем общую формулу для котангенса: $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\sqrt{3}$. Для нахождения арккотангенса отрицательного числа используем свойство: $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$.

$\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3})$.

Табличное значение $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в общую формулу:

$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) ctg $x = 0$

Это частный случай уравнения с котангенсом. Воспользуемся общей формулой: $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $a = 0$ имеем $x = \text{arcctg}(0) + \pi n$.

Значение $\text{arcctg}(0)$ равно $\frac{\pi}{2}$, так как котангенс равен нулю, когда косинус равен нулю, а синус не равен нулю, что соответствует углам $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ и т.д.

Подставляем значение в формулу:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

30.2. Решите уравнение:

1) $tg x = 1;$

2) $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3};$

3) $tg x = -\sqrt{3};$

4) $ctg x = \sqrt{3};$

5) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

6) $tg x = 0.$

1) tg x = 1;

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $tg x = a$ находится по формуле $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = 1$.

Находим значение арктангенса: $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу и получаем решение:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) tg x = $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

Используем общую формулу решения $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значение арктангенса: $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) tg x = $-\sqrt{3}$;

Общее решение уравнения $tg x = a$ имеет вид $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\sqrt{3}$.

Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.

$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, получаем решение:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) ctg x = $\sqrt{3}$;

Общее решение для уравнения вида $ctg x = a$ находится по формуле $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = \sqrt{3}$.

Находим значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем в общую формулу:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

5) ctg x = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$;

Используем общую формулу $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для нахождения арккотангенса отрицательного числа используем свойство $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$:

$\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

6) tg x = 0.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Тангенс равен нулю, когда синус равен нулю, а косинус не равен нулю.

Уравнение $tg x = 0$ равносильно уравнению $\sin x = 0$.

Решением уравнения $\sin x = 0$ является серия корней $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Также можно применить общую формулу: $x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n = 0 + \pi n = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

30.3. Решите уравнение:

1) $\text{tg}\left(-\frac{7x}{4}\right) = \sqrt{3};$

2) $\text{ctg}\frac{x}{2} = 0;$

3) $\text{ctg}\, 6x = \frac{6}{11}.$

1)

Решим уравнение $tg(-\frac{7x}{4}) = \sqrt{3}$.

Воспользуемся свойством нечетности функции тангенса: $\text{tg}(-a) = -\text{tg}(a)$.

$-\text{tg}(\frac{7x}{4}) = \sqrt{3}$

Умножим обе части на -1:

$\text{tg}(\frac{7x}{4}) = -\sqrt{3}$

Общее решение уравнения $\text{tg}(y) = b$ дается формулой $y = \text{arctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = \frac{7x}{4}$ и $b = -\sqrt{3}$.

$\frac{7x}{4} = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$

Поскольку $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:

$\frac{7x}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Теперь выразим $x$. Умножим обе части уравнения на 4:

$7x = -\frac{4\pi}{3} + 4\pi n$

И разделим обе части на 7:

$x = -\frac{4\pi}{21} + \frac{4\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{4\pi}{21} + \frac{4\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим уравнение $\text{ctg}\frac{x}{2} = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение уравнения $\text{ctg}(y) = 0$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = \frac{x}{2}$. Подставляя в общую формулу, получаем:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2(\frac{\pi}{2} + \pi n)$

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Решим уравнение $\text{ctg} 6x = \frac{6}{11}$.

Общее решение уравнения $\text{ctg}(y) = a$ записывается как $y = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $y = 6x$ и $a = \frac{6}{11}$.

Подставим эти значения в общую формулу:

$6x = \text{arcctg}(\frac{6}{11}) + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$x = \frac{1}{6}\text{arcctg}(\frac{6}{11}) + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{6}\text{arcctg}(\frac{6}{11}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

30.4. Решите уравнение:

1) $tg \frac{3}{5} x = 0$;

2) $ctg \frac{x}{2} = -\sqrt{3}$;

3) $ctg \frac{3}{2} x = 5$.

1) Решаем уравнение $ \tg\frac{3}{5}x = 0 $.
Общее решение уравнения $ \tg y = 0 $ имеет вид $ y = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
В данном случае $ y = \frac{3}{5}x $.
Получаем уравнение: $ \frac{3}{5}x = \pi n $.
Для того чтобы найти $ x $, умножим обе части уравнения на $ \frac{5}{3} $: $ x = \frac{5}{3} \cdot \pi n = \frac{5\pi n}{3} $.
Ответ: $ x = \frac{5\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

2) Решаем уравнение $ \ctg\frac{x}{2} = -\sqrt{3} $.
Общее решение уравнения $ \ctg y = a $ имеет вид $ y = \text{arcctg}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В данном случае $ y = \frac{x}{2} $ и $ a = -\sqrt{3} $.
Найдем значение арккотангенса: $ \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Подставляем это значение в общее решение: $ \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + \pi k $.
Чтобы найти $ x $, умножим обе части уравнения на 2: $ x = 2 \cdot (\frac{5\pi}{6} + \pi k) = \frac{10\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k $.
Ответ: $ x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) Решаем уравнение $ \ctg\frac{3}{2}x = 5 $.
Общее решение уравнения $ \ctg y = a $ имеет вид $ y = \text{arcctg}(a) + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
В данном случае $ y = \frac{3}{2}x $ и $ a = 5 $.
Так как 5 не является табличным значением для котангенса, оставляем в ответе арккотангенс.
Получаем уравнение: $ \frac{3}{2}x = \text{arcctg}(5) + \pi m $.
Чтобы найти $ x $, умножим обе части уравнения на $ \frac{2}{3} $: $ x = \frac{2}{3}(\text{arcctg}(5) + \pi m) = \frac{2}{3}\text{arcctg}(5) + \frac{2\pi m}{3} $.
Ответ: $ x = \frac{2}{3}\text{arcctg}(5) + \frac{2\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $.

30.5. Решите уравнение:

1) $\text{tg} \left( 3x - \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3};$

2) $\text{tg}(3 - 2x) = 2;$

3) $\sqrt{3} \text{ctg} \left( 5x + \frac{\pi}{3} \right) + 3 = 0;$

4) $\text{ctg} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

1) $\tg\left(3x - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\tg(y) = a$, общее решение которого находится по формуле $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $y = 3x - \frac{\pi}{12}$, а значение $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим значение арктангенса: $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем известные значения в формулу общего решения:

$3x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем $\frac{\pi}{12}$ в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$3x = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \pi n$

$3x = \frac{3\pi}{12} + \pi n$

Сократим дробь:

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg(3 - 2x) = 2$

Используем ту же общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y = 3 - 2x$ и $a = 2$. Поскольку 2 не является стандартным табличным значением, решение будет выражено через арктангенс этого числа.

$3 - 2x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$ из этого уравнения. Сначала изолируем член с $x$:

$-2x = \operatorname{arctg}(2) - 3 + \pi n$

Разделим обе части на -2:

$x = \frac{\operatorname{arctg}(2) - 3 + \pi n}{-2}$

Умножим числитель и знаменатель на -1, чтобы сделать знаменатель положительным:

$x = \frac{3 - \operatorname{arctg}(2) - \pi n}{2}$

Разделим на отдельные слагаемые:

$x = \frac{3 - \operatorname{arctg}(2)}{2} - \frac{\pi n}{2}$

Так как $n$ является любым целым числом ($... -2, -1, 0, 1, 2, ...$), то $-n$ также пробегает все целые числа. Поэтому знак перед периодом можно заменить на плюс, это не изменит множество решений. Оба варианта записи ответа являются верными.

Ответ: $x = \frac{3 - \operatorname{arctg}(2)}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sqrt{3}\operatorname{ctg}\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) + 3 = 0$

Сначала преобразуем уравнение к виду $\operatorname{ctg}(y) = a$.

Перенесем 3 в правую часть:

$\sqrt{3}\operatorname{ctg}\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) = -3$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$\operatorname{ctg}\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\operatorname{ctg}\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Общее решение уравнения $\operatorname{ctg}(y) = a$ имеет вид $y = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 5x + \frac{\pi}{3}$ и $a = -\sqrt{3}$.

Находим значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$5x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решаем уравнение относительно $x$:

$5x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$5x = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n$

$5x = \frac{3\pi}{6} + \pi n$

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения уравнений с котангенсом: $y = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$. Изолируем член с $x$:

$-\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 12:

$-\frac{x}{3} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + \pi n$

$-\frac{x}{3} = \frac{\pi}{12} + \pi n$

Умножим обе части уравнения на -3:

$x = -3 \left(\frac{\pi}{12} + \pi n\right)$

$x = -\frac{3\pi}{12} - 3\pi n$

Сократим дробь:

$x = -\frac{\pi}{4} - 3\pi n$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} - 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

30.6. Решите уравнение:

1) $ \text{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1; $

2) $ \text{ctg}(4 - 3x) = 2; $

3) $ 3\text{tg}(3x + 1) - \sqrt{3} = 0. $

1) Дано уравнение $\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\operatorname{tg}(y) = a$, общее решение которого находится по формуле $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, аргумент тангенса $y = x + \frac{\pi}{4}$, а значение $a = 1$.
Подставляем в формулу:
$x + \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, уравнение принимает вид:
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Вычитаем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\operatorname{ctg}(4 - 3x) = 2$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\operatorname{ctg}(y) = a$, общее решение которого находится по формуле $y = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, аргумент котангенса $y = 4 - 3x$, а значение $a = 2$.
Подставляем в формулу:
$4 - 3x = \operatorname{arcctg}(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим $x$. Сначала изолируем член с $x$:
$-3x = \operatorname{arcctg}(2) - 4 + \pi k$.
Разделим обе части на $-3$:
$x = \frac{\operatorname{arcctg}(2) - 4 + \pi k}{-3} = \frac{4 - \operatorname{arcctg}(2) - \pi k}{3}$.
Разобьем на отдельные слагаемые: $x = \frac{4}{3} - \frac{\operatorname{arcctg}(2)}{3} - \frac{\pi k}{3}$.
Так как $k$ является любым целым числом ($k \in \mathbb{Z}$), то $-k$ также пробегает все множество целых чисел. Поэтому для упрощения записи можно заменить $-k$ на $k$ (или любую другую букву, обозначающую целое число). Окончательный вид решения:
$x = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{4}{3} - \frac{1}{3}\operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $3\operatorname{tg}(3x + 1) - \sqrt{3} = 0$.
Сначала преобразуем уравнение к виду $\operatorname{tg}(y) = a$.
Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:
$3\operatorname{tg}(3x + 1) = \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 3:
$\operatorname{tg}(3x + 1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Теперь воспользуемся общей формулой для решения уравнений с тангенсом: $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $y = 3x+1$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$3x + 1 = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Значение арктангенса $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.
$3x + 1 = \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Теперь выразим $x$:
$3x = \frac{\pi}{6} - 1 + \pi k$.
$x = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{6} - 1 + \pi k\right)$.
$x = \frac{\pi}{18} - \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{18} - \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.