Номер 30.6, страница 218 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.6. Решите уравнение:

1) $ \text{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1; $

2) $ \text{ctg}(4 - 3x) = 2; $

3) $ 3\text{tg}(3x + 1) - \sqrt{3} = 0. $

1) Дано уравнение $\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\operatorname{tg}(y) = a$, общее решение которого находится по формуле $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, аргумент тангенса $y = x + \frac{\pi}{4}$, а значение $a = 1$.
Подставляем в формулу:
$x + \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, уравнение принимает вид:
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Вычитаем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\operatorname{ctg}(4 - 3x) = 2$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\operatorname{ctg}(y) = a$, общее решение которого находится по формуле $y = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае, аргумент котангенса $y = 4 - 3x$, а значение $a = 2$.
Подставляем в формулу:
$4 - 3x = \operatorname{arcctg}(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим $x$. Сначала изолируем член с $x$:
$-3x = \operatorname{arcctg}(2) - 4 + \pi k$.
Разделим обе части на $-3$:
$x = \frac{\operatorname{arcctg}(2) - 4 + \pi k}{-3} = \frac{4 - \operatorname{arcctg}(2) - \pi k}{3}$.
Разобьем на отдельные слагаемые: $x = \frac{4}{3} - \frac{\operatorname{arcctg}(2)}{3} - \frac{\pi k}{3}$.
Так как $k$ является любым целым числом ($k \in \mathbb{Z}$), то $-k$ также пробегает все множество целых чисел. Поэтому для упрощения записи можно заменить $-k$ на $k$ (или любую другую букву, обозначающую целое число). Окончательный вид решения:
$x = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{4}{3} - \frac{1}{3}\operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $3\operatorname{tg}(3x + 1) - \sqrt{3} = 0$.
Сначала преобразуем уравнение к виду $\operatorname{tg}(y) = a$.
Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:
$3\operatorname{tg}(3x + 1) = \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 3:
$\operatorname{tg}(3x + 1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Теперь воспользуемся общей формулой для решения уравнений с тангенсом: $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $y = 3x+1$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$3x + 1 = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Значение арктангенса $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.
$3x + 1 = \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Теперь выразим $x$:
$3x = \frac{\pi}{6} - 1 + \pi k$.
$x = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{6} - 1 + \pi k\right)$.
$x = \frac{\pi}{18} - \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{18} - \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.