Номер 30.11, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.11. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x+a)(\operatorname{tg} x-\sqrt{3})=0$ на промежутке $\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ имеет единственный корень?

Данное уравнение $(x + a)(\mathrm{tg}\,x - \sqrt{3}) = 0$ рассматривается на промежутке $(0; \frac{\pi}{2}]$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Функция $\mathrm{tg}\,x$ определена при всех $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На заданном промежутке $(0; \frac{\pi}{2}]$ есть одна такая точка: $x = \frac{\pi}{2}$. Поскольку тангенс в этой точке не определен, мы должны исключить ее из рассмотрения. Таким образом, мы ищем корни на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$.

Уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это равносильно тому, что хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что все выражения в уравнении определены. Таким образом, уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$: $$ \left[ \begin{array}{l} x + a = 0 \\ \mathrm{tg}\,x - \sqrt{3} = 0 \end{array} \right. $$ при условии $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Рассмотрим каждое уравнение из этой совокупности.

1. Уравнение $\mathrm{tg}\,x - \sqrt{3} = 0 \implies \mathrm{tg}\,x = \sqrt{3}$. Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Нам нужно найти корень, принадлежащий интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$. При $n = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{3}$. Так как $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$, этот корень подходит. При других целых значениях $n$ корни не попадают в указанный интервал. Следовательно, независимо от значения параметра $a$, уравнение всегда имеет один корень $x_1 = \frac{\pi}{3}$ на данном промежутке.

2. Уравнение $x + a = 0 \implies x = -a$. Обозначим этот потенциальный корень как $x_2 = -a$.

Для того чтобы исходное уравнение имело единственный корень на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, необходимо, чтобы корень $x_2 = -a$ либо совпадал с уже найденным корнем $x_1 = \frac{\pi}{3}$, либо не принадлежал этому интервалу.

Случай 1: Корни совпадают

Корень $x_2$ совпадает с корнем $x_1$. $x_2 = x_1 \implies -a = \frac{\pi}{3} \implies a = -\frac{\pi}{3}$. При этом значении $a$ оба множителя обращаются в ноль при $x = \frac{\pi}{3}$, и это единственный корень на заданном интервале. Следовательно, $a = -\frac{\pi}{3}$ является решением.

Случай 2: Корень $x_2$ не принадлежит интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$

В этом случае единственным корнем уравнения на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ будет $x_1 = \frac{\pi}{3}$. Условие $x_2 \notin (0; \frac{\pi}{2})$ означает, что $-a \le 0$ или $-a \ge \frac{\pi}{2}$. Рассмотрим эти два неравенства:

• $-a \le 0 \implies a \ge 0$.
• $-a \ge \frac{\pi}{2} \implies a \le -\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, при $a \in (-\infty; -\frac{\pi}{2}] \cup [0; +\infty)$ второй корень $x_2 = -a$ не попадает в интервал $(0; \frac{\pi}{2})$, и уравнение имеет единственный корень $x_1 = \frac{\pi}{3}$.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы находим все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет ровно один корень на заданном промежутке.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{\pi}{2}] \cup \{-\frac{\pi}{3}\} \cup [0; +\infty)$.