Номер 30.10, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.10. При каких значениях параметра $a$ имеет решения уравнение:

1) $\frac{\operatorname{ctg} x + a}{\operatorname{tg} x - 2} = 0;$

2) $\frac{\cos x - a}{\operatorname{ctg}^2 x - 3} = 0?$

1)

Данное уравнение $\frac{\ctg x + a}{\tg x - 2} = 0$ имеет решения тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, и все входящие в уравнение функции определены.

Это равносильно системе условий:

$\begin{cases} \ctg x + a = 0, \\ \tg x - 2 \neq 0, \\ \sin x \neq 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $\ctg x = -a$.

Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, то, при условии что $\tg x$ существует и не равен нулю, можно записать $\tg x = -\frac{1}{a}$. Это преобразование возможно только при $a \neq 0$.

Рассмотрим случай $a=0$. Уравнение принимает вид $\ctg x = 0$. Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Однако при этих значениях $x$ тангенс не определен (так как $\cos x = 0$), поэтому знаменатель исходного уравнения не определен. Следовательно, при $a=0$ решений нет.

Рассмотрим случай $a \neq 0$. В этом случае из $\ctg x = -a$ следует, что $\tg x = -\frac{1}{a}$. Уравнение $\tg x = -\frac{1}{a}$ всегда имеет решение для любого $a \neq 0$. Для этого решения будут определены и $\tg x$, и $\ctg x$.

Теперь нужно учесть условие, что знаменатель не равен нулю: $\tg x - 2 \neq 0$.

Подставим найденное выражение для $\tg x$:

$-\frac{1}{a} - 2 \neq 0$

$-\frac{1}{a} \neq 2$

$a \neq -\frac{1}{2}$

Итак, уравнение имеет решения при выполнении двух условий: $a \neq 0$ и $a \neq -\frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; +\infty)$.

2)

Уравнение $\frac{\cos x - a}{\ctg^2 x - 3} = 0$ имеет решения, если его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, и все функции в уравнении определены.

Это равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x - a = 0, \\ \ctg^2 x - 3 \neq 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $\cos x = a$.

Для того чтобы уравнение $\cos x = a$ имело решения, необходимо, чтобы $a$ принадлежало области значений функции косинус, то есть $a \in [-1; 1]$.

Третье условие $\sin x \neq 0$ означает, что котангенс определен. Так как $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, то условие $\sin x \neq 0$ равносильно $1 - \cos^2 x \neq 0$. Подставляя $\cos x = a$, приходим к условию $1 - a^2 \neq 0$, откуда $a \neq 1$ и $a \neq -1$.

Таким образом, с учетом первого и третьего условий, параметр $a$ должен принадлежать интервалу $(-1; 1)$.

Теперь рассмотрим второе условие: $\ctg^2 x - 3 \neq 0$.

Выразим $\ctg^2 x$ через $\cos x = a$:

$\ctg^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{a^2}{1 - a^2}$.

Подставим это в неравенство:

$\frac{a^2}{1 - a^2} - 3 \neq 0$

$\frac{a^2 - 3(1 - a^2)}{1 - a^2} \neq 0$

$\frac{4a^2 - 3}{1 - a^2} \neq 0$

Так как мы уже установили, что $1 - a^2 \neq 0$, это неравенство равносильно тому, что числитель не равен нулю: $4a^2 - 3 \neq 0$.

$4a^2 \neq 3 \Rightarrow a^2 \neq \frac{3}{4} \Rightarrow a \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба значения $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ принадлежат интервалу $(-1; 1)$, поэтому их нужно исключить.

Следовательно, для существования решений необходимо, чтобы параметр $a$ удовлетворял всем найденным условиям: $a \in (-1; 1)$, $a \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $a \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $a \in (-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.