Номер 30.8, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.8. Решите уравнение:

1) $\operatorname{ctg} \frac{2\pi}{5x} = 1;$

2) $\operatorname{tg} \frac{1}{\sqrt{x}} = -1;$

3) $\operatorname{ctg} (\pi \cos x) = 1.$

1) $ctg\frac{2\pi}{5x} = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ctg(y) = a$. Его решение находится по формуле $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае аргумент $y = \frac{2\pi}{5x}$ и $a = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{2\pi}{5x} = arcctg(1) + \pi n$

Поскольку $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$\frac{2\pi}{5x} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Вынесем $\pi$ за скобки в правой части:

$\frac{2\pi}{5x} = \pi \left(\frac{1}{4} + n\right)$

Разделим обе части уравнения на $\pi$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{2}{5x} = \frac{1}{4} + n$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{2}{5x} = \frac{1 + 4n}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции, чтобы выразить $x$:

$5x(1+4n) = 2 \cdot 4$

$5x(1+4n) = 8$

$x = \frac{8}{5(1+4n)}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $5x \neq 0$, то есть $x \neq 0$, и аргумент котангенса $\frac{2\pi}{5x} \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Наши решения удовлетворяют этим условиям, так как $1+4n \neq 0$ для целых $n$.

Ответ: $x = \frac{8}{5(1+4n)}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $tg\frac{1}{\sqrt{x}} = -1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $tg(y) = a$. Его решение находится по формуле $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ и $a = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = arctg(-1) + \pi n$

Поскольку $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x > 0$.

Из условия $x > 0$ следует, что $\sqrt{x} > 0$ и $\frac{1}{\sqrt{x}} > 0$. Следовательно, правая часть нашего уравнения также должна быть положительной:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n > 0$

$\pi n > \frac{\pi}{4}$

$n > \frac{1}{4}$

Так как $n$ — целое число, то $n$ может принимать значения $1, 2, 3, ...$. То есть $n \in \mathbb{N}$.

Теперь выразим $x$ из уравнения $\frac{1}{\sqrt{x}} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{-\frac{\pi}{4} + \pi n} = \frac{1}{\pi(n - \frac{1}{4})} = \frac{4}{\pi(4n-1)}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = \left(\frac{4}{\pi(4n-1)}\right)^2 = \frac{16}{\pi^2(4n-1)^2}$, где $n \in \mathbb{N}$.

Ответ: $x = \frac{16}{\pi^2(4n-1)^2}$, $n \in \mathbb{N}$.

3) $ctg(\pi \cos x) = 1$

Решаем это уравнение по аналогии с первым. Решение уравнения $ctg(y) = 1$ имеет вид $y = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = \pi \cos x$.

Получаем уравнение:

$\pi \cos x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на $\pi$:

$\cos x = \frac{1}{4} + n$

Мы знаем, что область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Поэтому должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le \frac{1}{4} + n \le 1$

Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей неравенства:

$-1 - \frac{1}{4} \le n \le 1 - \frac{1}{4}$

$-\frac{5}{4} \le n \le \frac{3}{4}$

$-1.25 \le n \le 0.75$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, возможны только два значения: $n = -1$ и $n = 0$.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $n = 0$.

$\cos x = \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4}$.

Решение этого уравнения: $x = \pm arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $n = -1$.

$\cos x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.

Решение этого уравнения: $x = \pm arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ. ОДЗ: аргумент котангенса $\pi \cos x \neq \pi k$, т.е. $\cos x \neq k$. Поскольку $|\cos x| \le 1$, то $k$ может быть $-1, 0, 1$. Наши решения $\cos x = 1/4$ и $\cos x = -3/4$ удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $x = \pm arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ $x = \pm arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.