Вопросы?, страница 230 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Укажите свойства функции $y = \arccos x$, $y = \arcsin x$, $y = \operatorname{arctg} x$, $y = \operatorname{arcctg} x$.

y = arccos x

• Область определения: отрезок $[-1; 1]$. В виде формулы: $D(y) = [-1; 1]$.
• Область значений: отрезок $[0; \pi]$. В виде формулы: $E(y) = [0; \pi]$.
• Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида), так как для любого $x$ из области определения выполняется соотношение $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: функция равна нулю при $x = 1$, так как $\arccos(1) = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна на промежутке $[-1; 1)$, то есть $\arccos x > 0$ при $x \in [-1; 1)$.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $[-1; 1]$.
• Экстремумы: в точке $x = -1$ функция достигает своего максимума $y_{max} = \pi$; в точке $x = 1$ функция достигает своего минимума $y_{min} = 0$.

Ответ: Функция $y = \arccos x$ определена на отрезке $[-1; 1]$, ее область значений – отрезок $[0; \pi]$. Она является убывающей, не обладает свойством четности или нечетности. Единственный корень функции – $x=1$.

y = arcsin x

• Область определения: отрезок $[-1; 1]$. В виде формулы: $D(y) = [-1; 1]$.
• Область значений: отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. В виде формулы: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
• Четность, нечетность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется соотношение $\arcsin(-x) = -\arcsin x$. Ее график симметричен относительно начала координат.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: функция равна нулю при $x = 0$, так как $\arcsin(0) = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; 1]$; $y < 0$ при $x \in [-1; 0)$.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $[-1; 1]$.
• Экстремумы: в точке $x = 1$ функция достигает своего максимума $y_{max} = \frac{\pi}{2}$; в точке $x = -1$ функция достигает своего минимума $y_{min} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: Функция $y = \arcsin x$ определена на отрезке $[-1; 1]$, ее область значений – отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Она является возрастающей и нечетной. Единственный корень функции – $x=0$.

y = arctg x

• Область определения: вся числовая прямая, то есть множество всех действительных чисел $R$. В виде формулы: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. В виде формулы: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• Четность, нечетность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется соотношение $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg} x$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: функция равна нулю при $x = 0$, так как $\operatorname{arctg}(0) = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
• Экстремумы: функция не имеет экстремумов.
• Асимптоты: график функции имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Ответ: Функция $y=\operatorname{arctg} x$ определена на всей числовой прямой, ее область значений – интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Она является возрастающей и нечетной. Единственный корень функции – $x=0$. График имеет горизонтальные асимптоты $y = \pm\frac{\pi}{2}$.

y = arcctg x

• Область определения: вся числовая прямая, то есть множество всех действительных чисел $R$. В виде формулы: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: интервал $(0; \pi)$. В виде формулы: $E(y) = (0; \pi)$.
• Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида), так как для любого $x$ из области определения выполняется соотношение $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x$.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: функция не имеет нулей, так как ее значения всегда строго больше нуля.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна на всей области определения, то есть $\operatorname{arcctg} x > 0$ для всех $x \in R$.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей своей области определения.
• Экстремумы: функция не имеет экстремумов.
• Асимптоты: график функции имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \pi$ при $x \to -\infty$ и $y = 0$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Функция $y=\operatorname{arcctg} x$ определена на всей числовой прямой, ее область значений – интервал $(0; \pi)$. Она является убывающей, не обладает свойством четности или нечетности и не имеет нулей. График имеет горизонтальные асимптоты $y = \pi$ и $y=0$.