Номер 30.9, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.9. При каких значениях параметра a имеет решения уравнение:

1) $\frac{\operatorname{tg} x - a}{\operatorname{ctg} x + 3} = 0;$

2) $\frac{\sin x - a}{3\operatorname{tg}^2 x - 1} = 0?$

Данное уравнение $\frac{\tg x - a}{\ctg x + 3} = 0$ имеет решения тогда и только тогда, когда существует такое значение $x$, для которого числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля и определен. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \tg x - a = 0 \\ \ctg x + 3 \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \quad (\text{чтобы } \ctg x \text{ был определен}) \\ \cos x \neq 0 \quad (\text{чтобы } \tg x \text{ был определен}) \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $\tg x = a$. Уравнение $\tg x = a$ имеет решения для любого действительного значения $a$.

Условие $\sin x \neq 0$ означает, что $\tg x \neq 0$. Следовательно, $a \neq 0$. Если $a=0$, то $\tg x=0$, что приводит к $x=\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Для этих значений $x$ котангенс не определен, а значит, и исходное уравнение не имеет смысла.

Условие $\cos x \neq 0$ выполняется для любого конечного значения $a=\tg x$.

Рассмотрим условие $\ctg x + 3 \neq 0$. Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$ (при $\tg x \neq 0$, что мы уже учли), можем подставить $\tg x = a$:

$\frac{1}{a} + 3 \neq 0$

$\frac{1}{a} \neq -3$

$a \neq -\frac{1}{3}$

Таким образом, для того чтобы исходное уравнение имело решение, параметр $a$ должен быть любым действительным числом, кроме $0$ и $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; 0) \cup (0; +\infty)$.

Уравнение $\frac{\sin x - a}{3\tg^2 x - 1} = 0$ имеет решения, если существует такое значение $x$, для которого числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля и определен. Запишем систему условий:

$\begin{cases} \sin x - a = 0 \\ 3\tg^2 x - 1 \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \quad (\text{чтобы } \tg x \text{ был определен}) \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $\sin x = a$. Это уравнение имеет решения только при условии $|a| \le 1$, то есть $a \in [-1, 1]$.

Условие $\cos x \neq 0$ означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x$ принимает значения $1$ и $-1$. Следовательно, если $a=1$ или $a=-1$, то любое решение уравнения $\sin x = a$ будет таким, что $\cos x = 0$. Для этих значений $x$ тангенс не определен, значит, знаменатель исходного уравнения не определен. Поэтому значения $a=1$ и $a=-1$ необходимо исключить. Получаем более строгое условие: $|a| < 1$, то есть $a \in (-1, 1)$.

Рассмотрим условие $3\tg^2 x - 1 \neq 0$, или $\tg^2 x \neq \frac{1}{3}$.

Выразим $\tg^2 x$ через $\sin x$, используя тождество $\tg^2 x = \frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}$ (которое справедливо, так как $\cos x \neq 0$). Подставляя $\sin x = a$, получаем:

$\frac{a^2}{1-a^2} \neq \frac{1}{3}$

Поскольку $a \in (-1, 1)$, знаменатель $1-a^2 > 0$. Умножим обе части неравенства на $3(1-a^2)$:

$3a^2 \neq 1-a^2$

$4a^2 \neq 1$

$a^2 \neq \frac{1}{4}$

Отсюда $a \neq \frac{1}{2}$ и $a \neq -\frac{1}{2}$.

Объединяя все условия, получаем, что параметр $a$ должен принадлежать интервалу $(-1, 1)$, но не должен быть равен $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in (-1; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1)$.