Номер 30.7, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30.7. Решите уравнение:

$1) tg \frac{\pi}{x} = 0;$ $2) ctg \frac{\pi}{\sqrt{x}} = 1;$ $3) tg (\pi \sin x) = \sqrt{3}.$

1) Уравнение $tg(\frac{\pi}{x}) = 0$ равносильно тому, что его аргумент равен $\pi n$ для любого целого $n$.
$\frac{\pi}{x} = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При этом необходимо учесть область определения: знаменатель $x$ не должен быть равен нулю, а аргумент тангенса $\frac{\pi}{x}$ не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.
Из уравнения $\frac{\pi}{x} = \pi n$ видно, что $n$ не может быть равно 0, так как иначе левая часть не определена. Таким образом, $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.
Разделив обе части на $\pi$, получаем:
$\frac{1}{x} = n$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{1}{n}$
Проверим условие области определения тангенса. Аргумент $\frac{\pi}{x} = \pi n$. Так как $n$ — целое число, $\pi n$ никогда не будет равно $\frac{\pi}{2} + \pi k$, потому что $\pi n$ является целым кратным $\pi$, а $\frac{\pi}{2} + \pi k$ — нет.
Ответ: $x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.

2) Уравнение $ctg(\frac{\pi}{\sqrt{x}}) = 1$ равносильно тому, что его аргумент равен $\frac{\pi}{4} + \pi n$ для любого целого $n$.
$\frac{\pi}{\sqrt{x}} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Область определения требует, чтобы подкоренное выражение было положительным (так как оно в знаменателе): $x > 0$.
Если $x > 0$, то $\sqrt{x} > 0$ и левая часть уравнения $\frac{\pi}{\sqrt{x}}$ строго положительна. Следовательно, правая часть также должна быть положительной:
$\frac{\pi}{4} + \pi n > 0$
$\frac{1}{4} + n > 0$
$n > -\frac{1}{4}$
Поскольку $n$ — целое число, это означает, что $n$ может быть любым целым неотрицательным числом ($n=0, 1, 2, ...$).
Теперь решим уравнение относительно $x$. Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{4} + n = \frac{1+4n}{4}$
Выразим $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = \frac{4}{1+4n}$
Возведем обе части в квадрат:
$x = \left(\frac{4}{1+4n}\right)^2 = \frac{16}{(1+4n)^2}$
Область определения котангенса требует, чтобы его аргумент $\frac{\pi}{\sqrt{x}}$ не был равен $\pi k$ для целого $k$. Наше решение $\frac{\pi}{\sqrt{x}} = \frac{\pi}{4} + \pi n$ этому условию удовлетворяет.
Ответ: $x = \frac{16}{(1+4n)^2}, n \in \mathbb{Z}, n \geq 0$.

3) Уравнение $tg(\pi \sin x) = \sqrt{3}$ равносильно тому, что его аргумент равен $\frac{\pi}{3} + \pi n$ для любого целого $n$.
$\pi \sin x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на $\pi$:
$\sin x = \frac{1}{3} + n$
Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому должно выполняться двойное неравенство:
$-1 \le \frac{1}{3} + n \le 1$
Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей неравенства:
$-1 - \frac{1}{3} \le n \le 1 - \frac{1}{3}$
$-\frac{4}{3} \le n \le \frac{2}{3}$
Единственные целые числа $n$, удовлетворяющие этому неравенству, — это $n=0$ и $n=-1$.
Рассмотрим оба случая:
1. При $n=0$:
$\sin x = \frac{1}{3}$
Решения этого уравнения имеют вид: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. При $n=-1$:
$\sin x = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$
Решения этого уравнения имеют вид: $x = (-1)^m \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi m$. Используя свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем: $x = (-1)^{m+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Проверка области определения тангенса ($\pi \sin x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$) показывает, что $\sin x$ не должен быть равен $\frac{1}{2} + k$. Наши значения $\frac{1}{3}$ и $-\frac{2}{3}$ этому условию удовлетворяют.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{m+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.