Страница 230 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Укажите свойства функции $y = \arccos x$, $y = \arcsin x$, $y = \operatorname{arctg} x$, $y = \operatorname{arcctg} x$.

y = arccos x

• Область определения: отрезок $[-1; 1]$. В виде формулы: $D(y) = [-1; 1]$.
• Область значений: отрезок $[0; \pi]$. В виде формулы: $E(y) = [0; \pi]$.
• Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида), так как для любого $x$ из области определения выполняется соотношение $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: функция равна нулю при $x = 1$, так как $\arccos(1) = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна на промежутке $[-1; 1)$, то есть $\arccos x > 0$ при $x \in [-1; 1)$.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $[-1; 1]$.
• Экстремумы: в точке $x = -1$ функция достигает своего максимума $y_{max} = \pi$; в точке $x = 1$ функция достигает своего минимума $y_{min} = 0$.

Ответ: Функция $y = \arccos x$ определена на отрезке $[-1; 1]$, ее область значений – отрезок $[0; \pi]$. Она является убывающей, не обладает свойством четности или нечетности. Единственный корень функции – $x=1$.

y = arcsin x

• Область определения: отрезок $[-1; 1]$. В виде формулы: $D(y) = [-1; 1]$.
• Область значений: отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. В виде формулы: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
• Четность, нечетность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется соотношение $\arcsin(-x) = -\arcsin x$. Ее график симметричен относительно начала координат.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: функция равна нулю при $x = 0$, так как $\arcsin(0) = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; 1]$; $y < 0$ при $x \in [-1; 0)$.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $[-1; 1]$.
• Экстремумы: в точке $x = 1$ функция достигает своего максимума $y_{max} = \frac{\pi}{2}$; в точке $x = -1$ функция достигает своего минимума $y_{min} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: Функция $y = \arcsin x$ определена на отрезке $[-1; 1]$, ее область значений – отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Она является возрастающей и нечетной. Единственный корень функции – $x=0$.

y = arctg x

• Область определения: вся числовая прямая, то есть множество всех действительных чисел $R$. В виде формулы: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. В виде формулы: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• Четность, нечетность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется соотношение $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg} x$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: функция равна нулю при $x = 0$, так как $\operatorname{arctg}(0) = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
• Экстремумы: функция не имеет экстремумов.
• Асимптоты: график функции имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Ответ: Функция $y=\operatorname{arctg} x$ определена на всей числовой прямой, ее область значений – интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Она является возрастающей и нечетной. Единственный корень функции – $x=0$. График имеет горизонтальные асимптоты $y = \pm\frac{\pi}{2}$.

y = arcctg x

• Область определения: вся числовая прямая, то есть множество всех действительных чисел $R$. В виде формулы: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: интервал $(0; \pi)$. В виде формулы: $E(y) = (0; \pi)$.
• Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида), так как для любого $x$ из области определения выполняется соотношение $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x$.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: функция не имеет нулей, так как ее значения всегда строго больше нуля.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна на всей области определения, то есть $\operatorname{arcctg} x > 0$ для всех $x \in R$.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей своей области определения.
• Экстремумы: функция не имеет экстремумов.
• Асимптоты: график функции имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \pi$ при $x \to -\infty$ и $y = 0$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Функция $y=\operatorname{arcctg} x$ определена на всей числовой прямой, ее область значений – интервал $(0; \pi)$. Она является убывающей, не обладает свойством четности или нечетности и не имеет нулей. График имеет горизонтальные асимптоты $y = \pi$ и $y=0$.

31.1. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin(x-1)$;

2) $y = \arccos\sqrt{x}$;

3) $y = \arccos\frac{\pi}{x+4}$.

1) $y = \arcsin(x - 1)$

Область определения функции арксинус, $y = \arcsin(t)$, это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что аргумент функции должен удовлетворять неравенству:

$-1 \le x - 1 \le 1$

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$-1 + 1 \le x - 1 + 1 \le 1 + 1$

$0 \le x \le 2$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$ в отрезке $[0, 2]$.

Ответ: $D(y) = [0, 2]$.

2) $y = \arccos\sqrt{x}$

Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(t)$, также является отрезком $[-1, 1]$. Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, мы имеем систему из двух условий:

$\begin{cases} -1 \le \sqrt{x} \le 1 \\ x \ge 0 \end{cases}$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Учитывая это, первое неравенство системы можно упростить:

$0 \le \sqrt{x} \le 1$

Возведем все части этого неравенства в квадрат. Так как все части неотрицательны, знак неравенства не изменится:

$0^2 \le (\sqrt{x})^2 \le 1^2$

$0 \le x \le 1$

Это решение удовлетворяет второму условию системы ($x \ge 0$). Следовательно, область определения функции — это отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $D(y) = [0, 1]$.

3) $y = \arccos\frac{\pi}{x + 4}$

Область определения функции арккосинус — отрезок $[-1, 1]$. Поэтому аргумент функции должен находиться в этих пределах:

$-1 \le \frac{\pi}{x + 4} \le 1$

Также необходимо учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x + 4 \ne 0$, то есть $x \ne -4$.

Решим двойное неравенство, рассмотрев два случая в зависимости от знака знаменателя.

Случай 1: $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$.

Умножим неравенство на положительное число $(x+4)$, сохраняя знаки неравенства:

$-(x+4) \le \pi \le x+4$

Это равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \pi \le x+4 \\ -(x+4) \le \pi \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \pi-4 \\ -x-4 \le \pi \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \pi-4 \\ x \ge -(\pi+4) \end{cases}$

Учитывая условие $x > -4$ и то, что $\pi-4 \approx -0.86 > -4$, а $-(\pi+4) \approx -7.14 < -4$, общим решением для этого случая будет $x \ge \pi-4$.

Случай 2: $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$.

Умножим неравенство на отрицательное число $(x+4)$, изменяя знаки неравенства на противоположные:

$-(x+4) \ge \pi \ge x+4$

Это равносильно системе:

$\begin{cases} \pi \ge x+4 \\ -(x+4) \ge \pi \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \pi-4 \\ -x-4 \ge \pi \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \pi-4 \\ x \le -(\pi+4) \end{cases}$

Учитывая условие $x < -4$ и то, что $\pi-4 \approx -0.86$, а $-(\pi+4) \approx -7.14 < -4$, наиболее строгим является неравенство $x \le -(\pi+4)$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем область определения функции:

Ответ: $D(y) = (-\infty, -(\pi+4)] \cup [\pi-4, \infty)$.

31.2. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$;

2) $y = \arccos \sqrt{3-x}$;

3) $y = \arccos \frac{2}{3x}$.

1) $y = \arcsin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Область определения функции арксинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, аргумент функции должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le x + \frac{\pi}{2} \le 1$

Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства:

$-1 - \frac{\pi}{2} \le x \le 1 - \frac{\pi}{2}$

Таким образом, область определения функции — это отрезок $\left[-1 - \frac{\pi}{2}; 1 - \frac{\pi}{2}\right]$.

Ответ: $D(y) = \left[-1 - \frac{\pi}{2}; 1 - \frac{\pi}{2}\right]$.

2) $y = \arccos\sqrt{3-x}$

Область определения функции арккосинус — это отрезок $[-1, 1]$. Кроме того, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} -1 \le \sqrt{3-x} \le 1 \\ 3-x \ge 0 \end{cases}$

Из второго неравенства следует, что $x \le 3$.

Рассмотрим первое двойное неравенство. Так как значение квадратного корня всегда неотрицательно ($\sqrt{3-x} \ge 0$), левая часть неравенства ($-1 \le \sqrt{3-x}$) выполняется для всех $x$, при которых корень определён. Таким образом, неравенство упрощается до:

$0 \le \sqrt{3-x} \le 1$

Возведём все части этого неравенства в квадрат, так как они неотрицательны:

$0^2 \le (\sqrt{3-x})^2 \le 1^2$

$0 \le 3-x \le 1$

Вычтем 3 из всех частей:

$0 - 3 \le -x \le 1 - 3$

$-3 \le -x \le -2$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$3 \ge x \ge 2$, что равносильно $2 \le x \le 3$.

Полученный отрезок $[2, 3]$ удовлетворяет условию $x \le 3$. Следовательно, это и есть область определения функции.

Ответ: $D(y) = [2; 3]$.

3) $y = \arccos\frac{2}{3x}$

Область определения функции арккосинус — это отрезок $[-1, 1]$. Значит, аргумент функции должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le \frac{2}{3x} \le 1$

При этом знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $3x \neq 0$, откуда $x \neq 0$.

Данное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{2}{3x} \le 1 \\ \frac{2}{3x} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{2}{3x} - 1 \le 0 \implies \frac{2 - 3x}{3x} \le 0$

Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2}{3x} + 1 \ge 0 \implies \frac{2 + 3x}{3x} \ge 0$

Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}] \cup (0, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств:

$\left((-\infty, 0) \cup [\frac{2}{3}, +\infty)\right) \cap \left((-\infty, -\frac{2}{3}] \cup (0, +\infty)\right)$

Пересечением является объединение промежутков $(-\infty, -\frac{2}{3}]$ и $[\frac{2}{3}, +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

31.3. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\operatorname{arcctg} x}$;

2) $y = \sqrt{\operatorname{arcctg}(x-1)}$.

1) $y = \sqrt{\operatorname{arcctg} x}$

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, мы должны решить неравенство:

$\operatorname{arcctg} x \ge 0$

По определению, область значений функции арккотангенс $y = \operatorname{arcctg} x$ — это интервал $(0; \pi)$. Это означает, что для любого действительного числа $x$, значение $\operatorname{arcctg} x$ всегда будет строго положительным.

Поскольку $\operatorname{arcctg} x > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, то неравенство $\operatorname{arcctg} x \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

2) $y = \sqrt{\operatorname{arctg}(x-1)}$

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Запишем соответствующее неравенство:

$\operatorname{arctg}(x-1) \ge 0$

Функция $y = \operatorname{arctg}(z)$ является возрастающей на всей своей области определения. Значение функции равно нулю при $z=0$ (т.е. $\operatorname{arctg}(0)=0$), положительно при $z>0$ и отрицательно при $z<0$.

Следовательно, неравенство $\operatorname{arctg}(z) \ge 0$ эквивалентно неравенству $z \ge 0$.

В нашем случае аргументом арктангенса является выражение $(x-1)$. Поэтому получаем неравенство:

$x - 1 \ge 0$

Решив его, находим:

$x \ge 1$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие или равные 1.

Ответ: $[1; +\infty)$.

31.4. Найдите область определения функции $y = \sqrt{\pi - \mathrm{arcctg}\,x}.$

31.4.

Дана функция $y = \sqrt{\pi - \operatorname{arcctg} x}$.

Область определения функции находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это связано с тем, что квадратный корень из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел.

Таким образом, мы должны решить следующее неравенство:

$\pi - \operatorname{arcctg} x \ge 0$

Перенесем $\operatorname{arcctg} x$ в правую часть неравенства:

$\pi \ge \operatorname{arcctg} x$

или, что то же самое:

$\operatorname{arcctg} x \le \pi$

Теперь вспомним свойства функции арккотангенс. Область значений функции $y = \operatorname{arcctg} x$ – это интервал $(0, \pi)$. Это означает, что для любого действительного значения $x$, для которого определен арккотангенс, его значение будет строго больше 0 и строго меньше $\pi$.

То есть, для любого $x \in (-\infty, +\infty)$ выполняется строгое неравенство:

$0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$

Поскольку $\operatorname{arcctg} x$ всегда строго меньше $\pi$, то неравенство $\operatorname{arcctg} x \le \pi$ выполняется для всех значений $x$, для которых определен $\operatorname{arcctg} x$.

Функция $\operatorname{arcctg} x$ определена для всех действительных чисел, то есть ее область определения – это вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.

Следовательно, подкоренное выражение $\pi - \operatorname{arcctg} x$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$. Таким образом, область определения исходной функции $y = \sqrt{\pi - \operatorname{arcctg} x}$ есть множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

31.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$;

2) $y = \arccos x + 2.$

1) Для функции $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$.

Область значений функции $f(x) = \arcsin x$ представляет собой отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти область значений для заданной функции $y$, нужно ко всем частям этого неравенства прибавить $\frac{\pi}{2}$:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \le \arcsin x + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

Выполнив сложение, получаем:

$0 \le y \le \pi$

Следовательно, наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее значение равно $\pi$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\pi$.

2) Для функции $y = \arccos x + 2$.

Область значений функции $f(x) = \arccos x$ представляет собой отрезок $[0; \pi]$.

Это можно записать в виде двойного неравенства:

$0 \le \arccos x \le \pi$

Чтобы найти область значений для заданной функции $y$, нужно ко всем частям этого неравенства прибавить 2:

$0 + 2 \le \arccos x + 2 \le \pi + 2$

Выполнив сложение, получаем:

$2 \le y \le \pi + 2$

Следовательно, наименьшее значение функции равно 2, а наибольшее значение равно $\pi + 2$.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение $\pi + 2$.