Номер 31.7, страница 231 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.7. Найдите область значений функции:

1) $y = \operatorname{arctg} x + 2;$

2) $y = \sqrt{\operatorname{arctg} x}.$

1) $y = \operatorname{arctg} x + 2$

Областью значений функции арктангенс $z = \operatorname{arctg} x$ является интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$.

Данная функция $y$ получена из функции $z = \operatorname{arctg} x$ путем прибавления константы 2, что соответствует сдвигу графика функции вверх на 2 единицы. Чтобы найти область значений функции $y$, необходимо прибавить 2 ко всем частям неравенства: $-\frac{\pi}{2} + 2 < \operatorname{arctg} x + 2 < \frac{\pi}{2} + 2$.

Следовательно, $2 - \frac{\pi}{2} < y < 2 + \frac{\pi}{2}$. Таким образом, область значений функции $y = \operatorname{arctg} x + 2$ есть интервал $(2 - \frac{\pi}{2}; 2 + \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $(2 - \frac{\pi}{2}; 2 + \frac{\pi}{2})$.

2) $y = \sqrt{\operatorname{arcctg} x}$

Сначала определим множество значений выражения, стоящего под знаком корня. Область значений функции арккотангенс $z = \operatorname{arcctg} x$ есть интервал $(0; \pi)$. Запишем это в виде двойного неравенства: $0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$.

Функция квадратного корня $y = \sqrt{z}$ определена для $z \ge 0$ и является возрастающей на своей области определения. Поскольку значения $\operatorname{arcctg} x$ всегда строго положительны, подкоренное выражение всегда больше нуля, и функция $y$ определена для всех действительных чисел $x$.

Чтобы найти область значений функции $y$, применим операцию извлечения квадратного корня ко всем частям неравенства для $\operatorname{arcctg} x$: $\sqrt{0} < \sqrt{\operatorname{arcctg} x} < \sqrt{\pi}$.

Отсюда получаем: $0 < y < \sqrt{\pi}$. Таким образом, область значений функции $y = \sqrt{\operatorname{arcctg} x}$ есть интервал $(0; \sqrt{\pi})$.

Ответ: $(0; \sqrt{\pi})$.