Номер 31.11, страница 231 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.11. Решите уравнение:

1) $\arctg x = \frac{\pi}{4}$;

2) $\arctg x = 1$;

3) $\arctg x = \frac{3\pi}{4}$.

1) $\arctg x = \frac{\pi}{4}$

По определению арктангенса, если $\arctg x = y$, то $x = \tg y$, при условии, что $y$ принадлежит области значений функции арктангенс, то есть $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

В данном случае $y = \frac{\pi}{4}$. Проверим, выполняется ли условие:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$

Это неравенство верно, так как $-\frac{2\pi}{4} < \frac{\pi}{4} < \frac{2\pi}{4}$. Следовательно, решение существует.

Чтобы найти $x$, нужно вычислить тангенс от правой части уравнения:

$x = \tg(\frac{\pi}{4})$

Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) является табличным значением:

$x = 1$

Ответ: 1

2) $\arctg x = 1$

По определению арктангенса, это уравнение эквивалентно $x = \tg(1)$.

Прежде чем записать ответ, нужно убедиться, что значение в правой части исходного уравнения (в данном случае 1) принадлежит области значений функции арктангенс, то есть интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Приближенно $\pi \approx 3,14159$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$.

Сравним 1 с границами интервала:

$-\frac{\pi}{2} < 1 < \frac{\pi}{2}$ (приблизительно $-1,5708 < 1 < 1,5708$).

Неравенство верное, значит, решение существует.

$x = \tg(1)$

Это точное значение, которое является иррациональным числом. Угол 1 здесь задан в радианах.

Ответ: $\tg(1)$

3) $\arctg x = \frac{3\pi}{4}$

Областью значений функции $y = \arctg x$ является интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это означает, что для любого действительного $x$, значение его арктангенса должно лежать строго между $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$.

В данном уравнении значение, которому должен быть равен арктангенс, это $\frac{3\pi}{4}$.

Сравним это значение с верхней границей области значений:

$\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{2}$. Приведем к общему знаменателю 4: $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{2\pi}{4}$.

Очевидно, что $\frac{3\pi}{4} > \frac{2\pi}{4}$, то есть $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.

Так как значение $\frac{3\pi}{4}$ не принадлежит области значений функции арктангенс $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет