Номер 31.15, страница 231 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.15. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\pi - \arccos x};$

2) $y = \sqrt{\arccos x - \pi};$

3) $y = \arcsin(\sqrt{x} + 1).$

1) $y = \sqrt{\pi - \arccos x}$

Область определения функции находится из системы двух условий:
1. Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$, то есть $-1 \le x \le 1$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\pi - \arccos x \ge 0$.

Рассмотрим второе условие:
$\pi - \arccos x \ge 0$
$\arccos x \le \pi$

Область значений функции $f(x) = \arccos x$ есть отрезок $[0; \pi]$. Это означает, что для любого $x$ из области определения арккосинуса, значение $\arccos x$ всегда меньше или равно $\pi$. Таким образом, неравенство $\arccos x \le \pi$ выполняется для всех $x$, для которых определен $\arccos x$, то есть для всех $x \in [-1; 1]$.

Поскольку второе условие выполняется для всех $x$, для которых выполняется первое, область определения исходной функции совпадает с областью определения функции арккосинуса.

Ответ: $[-1; 1]$.

2) $y = \sqrt{\arccos x - \pi}$

Область определения функции находится из системы двух условий:
1. Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$, то есть $-1 \le x \le 1$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\arccos x - \pi \ge 0$.

Рассмотрим второе условие:
$\arccos x - \pi \ge 0$
$\arccos x \ge \pi$

Область значений функции $f(x) = \arccos x$ есть отрезок $[0; \pi]$. Максимальное значение, которое может принимать $\arccos x$, равно $\pi$. Следовательно, неравенство $\arccos x \ge \pi$ может выполняться только в одном случае: когда $\arccos x = \pi$.

Найдем значение $x$, при котором $\arccos x = \pi$:
$x = \cos(\pi) = -1$.

Это значение $x = -1$ удовлетворяет первому условию ($-1 \in [-1; 1]$). Следовательно, область определения функции состоит из единственной точки.

Ответ: $\{-1\}$.

3) $y = \arcsin(\sqrt{x} + 1)$

Область определения функции находится из системы двух условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sqrt{x} + 1 \le 1$.

Рассмотрим второе условие — двойное неравенство:
$-1 \le \sqrt{x} + 1 \le 1$
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-1 - 1 \le \sqrt{x} \le 1 - 1$
$-2 \le \sqrt{x} \le 0$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ является неотрицательной величиной, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.
Таким образом, двойное неравенство $-2 \le \sqrt{x} \le 0$ может выполняться только при условии, что $\sqrt{x}$ равно одновременно и больше или равно 0, и меньше или равно 0. Единственное число, удовлетворяющее этому, — ноль.

$\sqrt{x} = 0$
Возведя обе части в квадрат, получаем:
$x = 0$.

Полученное значение $x = 0$ удовлетворяет первому условию ($0 \ge 0$). Следовательно, область определения функции состоит из единственной точки.

Ответ: $\{0\}$.