Номер 31.18, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.18. Найдите область значений функции:

1) $y = \arccos\sqrt{x + 2};$

2) $y = \frac{1}{\arccos x};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt{\arcsin x}}.$

1) Для функции $y = \arccos\sqrt{x} + 2$ сначала найдем ее область определения. Аргумент функции $\arccos$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Получаем систему условий:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{x} \le 1 \end{cases} $

Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ при всех допустимых $x$, второе неравенство можно переписать как $0 \le \sqrt{x} \le 1$. Возведя в квадрат все части этого неравенства, получим $0 \le x \le 1$. Это и есть область определения функции, $D(y) = [0, 1]$.

Теперь найдем область значений. Рассмотрим вспомогательную функцию $z = \arccos\sqrt{x}$. Так как $x \in [0, 1]$, то $\sqrt{x}$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$.

Функция $\arccos(t)$ является убывающей. На отрезке $t \in [0, 1]$ она принимает значения от $\arccos(1)$ до $\arccos(0)$.

$\arccos(1) = 0$ (наименьшее значение).

$\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$ (наибольшее значение).

Следовательно, область значений функции $z = \arccos\sqrt{x}$ есть отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Исходная функция $y = \arccos\sqrt{x} + 2$ получается из функции $z$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси ординат. Значит, ее область значений — это отрезок $[0+2, \frac{\pi}{2}+2]$.

Таким образом, область значений функции $E(y) = [2, 2+\frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $[2, 2+\frac{\pi}{2}]$.

2) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{\arccos x}$.

Область определения функции $\arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$\arccos x \neq 0 \implies x \neq \cos(0) \implies x \neq 1$.

Таким образом, область определения исходной функции $D(y) = [-1, 1)$.

Найдем множество значений, которые принимает знаменатель $t = \arccos x$ при $x \in [-1, 1)$. Функция $\arccos x$ убывает на всей области определения. Ее область значений — $[0, \pi]$.

При $x = -1$, $t = \arccos(-1) = \pi$.

При $x \to 1^-$, $t = \arccos x \to \arccos(1) = 0$.

Следовательно, на промежутке $x \in [-1, 1)$, знаменатель $t = \arccos x$ принимает все значения из полуинтервала $(0, \pi]$.

Теперь найдем область значений для $y = \frac{1}{t}$ при $t \in (0, \pi]$. Функция $f(t) = \frac{1}{t}$ является убывающей на промежутке $(0, +\infty)$.

Наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении $t=\pi$: $y_{min} = \frac{1}{\pi}$.

Когда $t$ стремится к нулю справа ($t \to 0^+$), значение $y = \frac{1}{t}$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$).

Таким образом, область значений функции $E(y) = [\frac{1}{\pi}, +\infty)$.

Ответ: $[\frac{1}{\pi}, +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{\sqrt{\arcsin x}}$.

Для нахождения области определения должны выполняться следующие условия:

1. Аргумент функции $\arcsin x$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\arcsin x \ge 0$. Так как $\arcsin x$ — возрастающая функция, это неравенство равносильно $x \ge \sin(0)$, то есть $x \ge 0$.

3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{\arcsin x} \neq 0$, что означает $\arcsin x \neq 0$, откуда $x \neq 0$.

Объединяя все условия ($x \in [-1, 1]$, $x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем область определения $D(y) = (0, 1]$.

Теперь найдем область значений. Пусть $t = \arcsin x$. На области определения $x \in (0, 1]$, функция $\arcsin x$ возрастает.
При $x \to 0^+$, $t = \arcsin x \to \arcsin(0) = 0$.
При $x=1$, $t = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, $t$ принимает значения из полуинтервала $(0, \frac{\pi}{2}]$.

Тогда выражение в знаменателе $u = \sqrt{\arcsin x} = \sqrt{t}$ принимает значения из промежутка $(0, \sqrt{\frac{\pi}{2}}]$.

Наконец, найдем область значений функции $y = \frac{1}{u}$ при $u \in (0, \sqrt{\frac{\pi}{2}}]$. Функция $f(u) = \frac{1}{u}$ является убывающей для $u > 0$.

Наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении $u = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$: $y_{min} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$.

Когда $u$ стремится к нулю справа ($u \to 0^+$), значение $y = \frac{1}{u}$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$).

Таким образом, область значений функции $E(y) = [\sqrt{\frac{2}{\pi}}, +\infty)$.

Ответ: $[\sqrt{\frac{2}{\pi}}, +\infty)$.