Номер 31.24, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.24. Вычислите:

1) $\sin \left(\arccos \frac{1}{3}\right)$;

2) $\cos \left(2 \arccos \frac{4}{5}\right)$;

3) $\cos \left(\frac{1}{2} \arcsin \frac{5}{13}\right)$.

1) $ \sin\left(\arccos\frac{1}{3}\right) $

Пусть $ \alpha = \arccos\frac{1}{3} $. По определению арккосинуса, это означает, что $ \cos\alpha = \frac{1}{3} $ и $ 0 \le \alpha \le \pi $.

Нам нужно найти $ \sin\alpha $. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Отсюда $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $. Подставим известное значение $ \cos\alpha $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.

Так как $ 0 \le \alpha \le \pi $, то $ \sin\alpha \ge 0 $. Следовательно, мы берем положительное значение корня:

$ \sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Таким образом, $ \sin\left(\arccos\frac{1}{3}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Ответ: $ \frac{2\sqrt{2}}{3} $

2) $ \cos\left(2\arccos\frac{4}{5}\right) $

Пусть $ \alpha = \arccos\frac{4}{5} $. Тогда по определению $ \cos\alpha = \frac{4}{5} $ и $ 0 \le \alpha \le \pi $.

Нам нужно вычислить $ \cos(2\alpha) $. Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Подставим значение $ \cos\alpha $ в формулу:

$ \cos(2\alpha) = 2\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = 2\cdot\frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{7}{25} $.

Следовательно, $ \cos\left(2\arccos\frac{4}{5}\right) = \frac{7}{25} $.

Ответ: $ \frac{7}{25} $

3) $ \cos\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{5}{13}\right) $

Пусть $ \alpha = \arcsin\frac{5}{13} $. По определению арксинуса, $ \sin\alpha = \frac{5}{13} $ и $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $.

Нам нужно найти $ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) $. Воспользуемся формулой косинуса половинного угла: $ \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos\alpha}{2} $.

Сначала найдем $ \cos\alpha $. Из основного тригонометрического тождества $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Поскольку $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $, то $ \cos\alpha \ge 0 $. Значит, $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $.

Теперь подставим значение $ \cos\alpha $ в формулу для косинуса половинного угла:

$ \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \frac{12}{13}}{2} = \frac{\frac{13+12}{13}}{2} = \frac{\frac{25}{13}}{2} = \frac{25}{26} $.

Определим знак $ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) $. Так как $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $, то, разделив на 2, получим $ -\frac{\pi}{4} \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{4} $. В этом промежутке косинус положителен, поэтому $ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) > 0 $.

$ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} $.

Ответ: $ \frac{5}{\sqrt{26}} $