Номер 31.28, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.28. Решите уравнение:

1) $ \cos(\arccos(4x - 1)) = 3x^2 $

2) $ \cos(\arccos(x - 1)) = x - 1 $

1) $cos(arccos(4x - 1)) = 3x^2$

Данное уравнение имеет смысл только при условии, что выражение под знаком арккосинуса принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Это область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

Найдем ОДЗ:

$-1 \le 4x - 1 \le 1$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le 4x \le 1 + 1$

$0 \le 4x \le 2$

Разделим все части неравенства на 4:

$0 \le x \le \frac{2}{4}$

$0 \le x \le \frac{1}{2}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, \frac{1}{2}]$.

Теперь решим само уравнение. По определению арккосинуса, $cos(arccos(y)) = y$ для любого $y \in [-1, 1]$. В нашем случае $y = 4x - 1$, и мы уже учли это условие в ОДЗ.

Уравнение упрощается до вида:

$4x - 1 = 3x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или заметить, что сумма коэффициентов $3 - 4 + 1 = 0$. Это означает, что один из корней равен 1.

$x_1 = 1$

Второй корень можно найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

$1 \cdot x_2 = \frac{1}{3}$, следовательно, $x_2 = \frac{1}{3}$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [0, \frac{1}{2}]$).

Проверка для $x_1 = 1$: $1$ не принадлежит отрезку $[0, \frac{1}{2}]$, так как $1 > \frac{1}{2}$. Следовательно, $x = 1$ является посторонним корнем.

Проверка для $x_2 = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3}$ принадлежит отрезку $[0, \frac{1}{2}]$, так как $0 \le \frac{1}{3} \le \frac{1}{2}$ (это верно, поскольку $2 \le 3$). Следовательно, $x = \frac{1}{3}$ является решением уравнения.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) $cos(arccos(x - 1)) = x - 1$

Это уравнение является тождеством $cos(arccos(y)) = y$, где $y = x - 1$.

Данное тождество справедливо для всех значений $x$, при которых определена функция $arccos(x - 1)$. Арккосинус определен, если его аргумент принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Следовательно, решением уравнения будет множество всех $x$, удовлетворяющих неравенству:

$-1 \le x - 1 \le 1$

Прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства:

$-1 + 1 \le x \le 1 + 1$

$0 \le x \le 2$

Таким образом, решением уравнения является любой $x$ из отрезка $[0, 2]$.

Ответ: $[0, 2]$.