Номер 31.26, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.26. Вычислите:

1) $\sin(\operatorname{arctg}(-3));$

2) $\cos\left(2\operatorname{arctg}\frac{1}{4} + \arccos\frac{3}{5}\right).$

1)Пусть $α = \operatorname{arctg}(-3)$. По определению арктангенса, $\operatorname{tg}(α) = -3$ и $α \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как тангенс отрицательный, то угол $α$ находится в четвертой четверти, то есть $α \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$. В этой четверти синус отрицателен. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \operatorname{ctg}^2(α) = \frac{1}{\sin^2(α)}$. Сначала найдем котангенс: $\operatorname{ctg}(α) = \frac{1}{\operatorname{tg}(α)} = -\frac{1}{3}$. Подставим значение котангенса в тождество:$1 + (-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{\sin^2(α)}$$1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\sin^2(α)}$$\frac{10}{9} = \frac{1}{\sin^2(α)}$$\sin^2(α) = \frac{9}{10}$Поскольку $α \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$, $\sin(α)$ должен быть отрицательным.$\sin(α) = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Следовательно, $\sin(\operatorname{arctg}(-3)) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Ответ: $-\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

2)Для вычисления значения выражения $\cos(2\operatorname{arctg}\frac{1}{4} + \arccos\frac{3}{5})$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(α + β) = \cos(α)\cos(β) - \sin(α)\sin(β)$. Пусть $α = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{4}$ и $β = \arccos\frac{3}{5}$. Сначала найдем значения синуса и косинуса для угла $β$. Из определения арккосинуса, если $β = \arccos\frac{3}{5}$, то $\cos(β) = \frac{3}{5}$ и $β \in [0, \pi]$. Так как $\cos(β) > 0$, то $β$ находится в первой четверти, $β \in [0, \frac{\pi}{2}]$. Найдем $\sin(β)$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2(β) + \cos^2(β) = 1$.$\sin^2(β) = 1 - \cos^2(β) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Поскольку $β$ в первой четверти, $\sin(β) > 0$, поэтому $\sin(β) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$. Теперь найдем значения синуса и косинуса для угла $α = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{4}$. Пусть $\gamma = \operatorname{arctg}\frac{1}{4}$. Тогда $\operatorname{tg}(\gamma) = \frac{1}{4}$. Воспользуемся формулами двойного угла, выраженными через тангенс:$\cos(α) = \cos(2\gamma) = \frac{1 - \operatorname{tg}^2(\gamma)}{1 + \operatorname{tg}^2(\gamma)} = \frac{1 - (\frac{1}{4})^2}{1 + (\frac{1}{4})^2} = \frac{1 - \frac{1}{16}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{15}{16}}{\frac{17}{16}} = \frac{15}{17}$.$\sin(α) = \sin(2\gamma) = \frac{2\operatorname{tg}(\gamma)}{1 + \operatorname{tg}^2(\gamma)} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 + (\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{17} = \frac{8}{17}$. Подставим все найденные значения в формулу косинуса суммы:$\cos(α + β) = \cos(α)\cos(β) - \sin(α)\sin(β) = \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} - \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} = \frac{45}{85} - \frac{32}{85} = \frac{13}{85}$. Ответ: $\frac{13}{85}$.