Номер 31.27, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.27. Решите уравнение:

1) $\cos(\arccos(4x-9)) = x^2 - 5x + 5;$

2) $\sin(\arcsin(x+2)) = x+2.$

1) $ \cos(\arccos(4x - 9)) = x^2 - 5x + 5 $

По определению арккосинуса, равенство $ \cos(\arccos(a)) = a $ верно при условии, что $ a $ принадлежит области определения арккосинуса, то есть $ -1 \le a \le 1 $.

В данном случае $ a = 4x - 9 $. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 4x - 9 = x^2 - 5x + 5, \\ -1 \le 4x - 9 \le 1. \end{cases} $

Сначала решим неравенство, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ) для $ x $:

$ -1 \le 4x - 9 \le 1 $

Прибавим 9 ко всем частям двойного неравенства:

$ -1 + 9 \le 4x \le 1 + 9 $

$ 8 \le 4x \le 10 $

Разделим все части на 4:

$ \frac{8}{4} \le x \le \frac{10}{4} $

$ 2 \le x \le 2,5 $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in [2; 2,5] $.

Теперь решим уравнение:

$ 4x - 9 = x^2 - 5x + 5 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ x^2 - 5x - 4x + 5 + 9 = 0 $

$ x^2 - 9x + 14 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 9, а их произведение равно 14. Корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 7 $.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($ x \in [2; 2,5] $):

• Корень $ x_1 = 2 $ принадлежит отрезку $ [2; 2,5] $, следовательно, является решением исходного уравнения.
• Корень $ x_2 = 7 $ не принадлежит отрезку $ [2; 2,5] $, следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2.

2) $ \sin(\arcsin(x + 2)) = x + 2 $

Данное уравнение представляет собой тождество $ \sin(\arcsin(a)) = a $, которое справедливо для всех значений $ a $, входящих в область определения функции арксинус, то есть при $ -1 \le a \le 1 $.

В данном случае $ a = x + 2 $. Следовательно, уравнение верно для всех $ x $, удовлетворяющих условию:

$ -1 \le x + 2 \le 1 $

Вычтем 2 из всех частей двойного неравенства, чтобы найти $ x $:

$ -1 - 2 \le x \le 1 - 2 $

$ -3 \le x \le 1 $

Таким образом, решением уравнения является множество всех значений $ x $ из отрезка $ [-3; 1] $.

Ответ: $ [-3; 1] $.