Номер 31.32, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.32. Решите неравенство $\text{arcctg}(3x - 7) > \frac{2\pi}{3}$.

Для решения неравенства воспользуемся свойствами функции арккотангенс.

Исходное неравенство:

$$ \mathrm{arcctg}(3x - 7) > \frac{2\pi}{3} $$

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент функции арккотангенс может быть любым действительным числом, поэтому для выражения $3x - 7$ нет никаких ограничений. Следовательно, $x \in \mathbb{R}$.

2. Область значений функции $y = \mathrm{arcctg}(t)$ — это интервал $(0; \pi)$. Значение $\frac{2\pi}{3}$ входит в этот интервал, так как $0 < \frac{2\pi}{3} < \pi$. Это означает, что неравенство имеет решения.

3. Функция $y = \mathrm{arcctg}(t)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Это означает, что если $\mathrm{arcctg}(a) > \mathrm{arcctg}(b)$, то из этого следует, что $a < b$.

Применим это свойство к нашему неравенству. Для этого представим правую часть неравенства также в виде арккотангенса некоторого числа. Найдем число $a$, такое что $\mathrm{arcctg}(a) = \frac{2\pi}{3}$.

$$ a = \mathrm{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) $$

Вычислим значение котангенса:

$$ \mathrm{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \mathrm{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$$ \mathrm{arcctg}(3x - 7) > \mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $$

Поскольку функция $\mathrm{arcctg}$ убывающая, мы можем перейти к неравенству для ее аргументов, изменив знак неравенства на противоположный:

$$ 3x - 7 < -\frac{\sqrt{3}}{3} $$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

Прибавим 7 к обеим частям:

$$ 3x < 7 - \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Разделим обе части на 3:

$$ x < \frac{7}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} $$

$$ x < \frac{7}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} $$

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, которые меньше, чем $\frac{7}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{7}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.