Номер 31.36, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.36. Постройте график функции:

1) $y = \text{ctg}(\text{arcctg}x)$;

2) $y = \text{tg}(\text{arcctg}x)$.

1) $y = \text{ctg}(\text{arcctg } x)$

По определению арккотангенса, $\text{arcctg } x$ — это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $x$. То есть, если $\alpha = \text{arcctg } x$, то $\text{ctg } \alpha = x$.

Область определения функции $\text{arcctg } x$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Область значений функции $\text{arcctg } x$ — это интервал $(0, \pi)$. На этом интервале котангенс определен для любого значения.

Следовательно, область определения функции $y = \text{ctg}(\text{arcctg } x)$ — это все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.

По основному тождеству для обратных тригонометрических функций, $\text{ctg}(\text{arcctg } x) = x$ для любого $x$ из области определения арккотангенса.

Таким образом, мы получаем функцию $y = x$.

Графиком этой функции является прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси Ox (биссектриса I и III координатных четвертей).

Ответ: Графиком функции $y = \text{ctg}(\text{arcctg } x)$ является прямая $y=x$.

2) $y = \text{tg}(\text{arcctg } x)$

Рассмотрим функцию $y = \text{tg}(\text{arcctg } x)$.

Внутренняя функция $\text{arcctg } x$ определена для всех действительных $x$, а её область значений — интервал $(0, \pi)$.

Внешняя функция $\text{tg}(\alpha)$ не определена в точках $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужно исключить из области определения те значения $x$, для которых $\text{arcctg } x$ принимает "запрещенные" значения. В интервале $(0, \pi)$ таким значением является $\frac{\pi}{2}$.

Найдем $x$, при котором $\text{arcctg } x = \frac{\pi}{2}$.
$x = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Следовательно, область определения исходной функции: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Теперь упростим выражение. Пусть $\alpha = \text{arcctg } x$. Тогда $\text{ctg } \alpha = x$. Нам нужно найти $\text{tg } \alpha$.

Используем известное тождество $\text{tg } \alpha = \frac{1}{\text{ctg } \alpha}$. Это тождество верно при условии, что $\text{ctg } \alpha \neq 0$ (что соответствует $x \neq 0$) и $\text{tg } \alpha$ определен. Мы уже учли эти условия при нахождении области определения.

Подставляя $\text{ctg } \alpha = x$, получаем: $y = \frac{1}{x}$.

Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Ответ: Графиком функции $y = \text{tg}(\text{arcctg } x)$ является гипербола $y=\frac{1}{x}$.