Номер 31.39, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.39. Постройте график функции $y = \text{arcctg}(\text{ctg } x)$.

Для построения графика функции $y = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x)$ последовательно проанализируем её свойства.

Сначала найдём область определения и область значений. Внутренняя функция $u = \operatorname{ctg} x$ определена для всех $x$, кроме тех, где $\sin x = 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Внешняя функция $y = \operatorname{arcctg} u$ определена для всех действительных значений $u$. Таким образом, область определения функции $y(x)$ есть множество $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

Область значений функции $u = \operatorname{ctg} x$ — это все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$. Область значений функции $y = \operatorname{arcctg} u$ — это интервал $(0, \pi)$. Следовательно, область значений исходной функции $E(y) = (0, \pi)$.

Далее, исследуем функцию на периодичность. Функция $\operatorname{ctg} x$ является периодической с основным периодом $\pi$. Проверим периодичность функции $y(x)$:

$y(x + \pi) = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(x + \pi)) = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = y(x)$.

Следовательно, функция $y = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x)$ также является периодической с периодом $\pi$. Это означает, что достаточно построить её график на любом интервале длиной $\pi$, например на $(0, \pi)$, а затем продолжить его периодически на всю область определения.

Рассмотрим поведение функции на основном интервале $x \in (0, \pi)$. По определению арккотангенса, равенство $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} \alpha) = \alpha$ верно, если $\alpha$ принадлежит главному промежутку значений арккотангенса, то есть $\alpha \in (0, \pi)$. Поскольку в нашем случае $x$ принадлежит этому интервалу, для него выполняется тождество:

$y = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = x$ при $x \in (0, \pi)$.

Таким образом, на интервале $(0, \pi)$ график функции представляет собой отрезок прямой $y=x$ с выколотыми точками на концах: $(0,0)$ и $(\pi, \pi)$.

Используя периодичность, найдём вид функции на других интервалах вида $(\pi n, \pi(n+1))$ для произвольного целого $n$. Пусть $x \in (\pi n, \pi(n+1))$, тогда $x - \pi n \in (0, \pi)$. Обозначим $u = x - \pi n$. Поскольку функция $\operatorname{ctg} x$ имеет период $\pi$, то $\operatorname{ctg} x = \operatorname{ctg}(u + \pi n) = \operatorname{ctg} u$. Тогда:

$y = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} u) = u = x - \pi n$.

Итак, на каждом интервале $(\pi n, \pi(n+1))$ график функции совпадает с графиком прямой $y = x - \pi n$. Например, на интервале $(\pi, 2\pi)$ имеем $y = x - \pi$, а на интервале $(-\pi, 0)$ имеем $y = x + \pi$.

Теперь мы можем построить график. Он состоит из бесконечного множества параллельных отрезков. В точках разрыва $x = \pi n$ найдём односторонние пределы:

$\lim_{x \to \pi n^+} y(x) = \lim_{x \to \pi n^+} (x - \pi n) = 0$.

$\lim_{x \to \pi n^-} y(x) = \lim_{x \to \pi n^-} (x - \pi (n-1)) = \pi n - \pi (n-1) = \pi$.

В каждой точке $x = \pi n$ функция терпит разрыв первого рода. На графике это соответствует выколотым точкам: $(\pi n, 0)$ в начале каждого отрезка и $(\pi n, \pi)$ в конце предыдущего.

Ответ:

График функции $y = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x)$ представляет собой совокупность параллельных отрезков. На каждом интервале $(\pi n, \pi(n+1))$, где $n$ — целое число, график является отрезком прямой $y = x - \pi n$ с выколотыми точками на концах. В точках $x = \pi n$ функция не определена и имеет разрывы первого рода. Изображение графика представлено ниже.