Номер 31.46, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.46. Решите уравнение $ \arcsin 2x + \arcsin x = \frac{\pi}{3} $.

Исходное уравнение: $arcsin(2x) + arcsin(x) = \frac{\pi}{3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент функции $arcsin$ должен находиться в промежутке $[-1, 1]$. Это дает нам систему неравенств:

$ \begin{cases} -1 \le 2x \le 1 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$. Пересекая это решение со вторым неравенством, получаем ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Для решения уравнения перенесем один из членов в правую часть:

$arcsin(2x) = \frac{\pi}{3} - arcsin(x)$

Возьмем синус от обеих частей уравнения:

$sin(arcsin(2x)) = sin(\frac{\pi}{3} - arcsin(x))$

Левая часть равна $2x$. Для преобразования правой части используем формулу синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$:

$2x = sin(\frac{\pi}{3}) \cdot cos(arcsin(x)) - cos(\frac{\pi}{3}) \cdot sin(arcsin(x))$

Подставим известные значения: $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $sin(arcsin(x)) = x$ и $cos(arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$. (Знак "плюс" перед корнем, так как область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а на этом промежутке косинус неотрицателен).

Уравнение принимает вид:

$2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} - \frac{1}{2} x$

Перенесем член с $x$ в левую часть и приведем подобные:

$2x + \frac{1}{2} x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2}$

$\frac{5x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2}$

$5x = \sqrt{3}\sqrt{1 - x^2}$

Правая часть этого уравнения неотрицательна, поэтому и левая часть должна быть неотрицательной: $5x \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Совместив это с ОДЗ, получаем, что решение должно лежать в промежутке $[0, \frac{1}{2}]$. На этом промежутке обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(5x)^2 = (\sqrt{3}\sqrt{1 - x^2})^2$

$25x^2 = 3(1 - x^2)$

$25x^2 = 3 - 3x^2$

$28x^2 = 3$

$x^2 = \frac{3}{28}$

$x = \pm\sqrt{\frac{3}{28}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{28}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{14}$.

Учитывая условие $x \ge 0$, выбираем положительный корень: $x = \frac{\sqrt{21}}{14}$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Необходимо убедиться, что $\frac{\sqrt{21}}{14} \le \frac{1}{2}$. Это неравенство эквивалентно $\sqrt{21} \le 7$. Так как обе части положительны, возводим в квадрат: $21 \le 49$. Неравенство верное, следовательно, найденный корень $x = \frac{\sqrt{21}}{14}$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{14}$.