Номер 32.6, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.6. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x - y = \frac{2\pi}{3}, \\ \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} y = -2\sqrt{3}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6}, \\ \operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y = 1. \end{cases} $

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = \frac{2\pi}{3}, \\ \text{tg} \, x - \text{tg} \, y = -2\sqrt{3}. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$ и $\cos y \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любых $k, n \in \mathbb{Z}$.

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + \frac{2\pi}{3}$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $$ \text{tg} \left( y + \frac{2\pi}{3} \right) - \text{tg} \, y = -2\sqrt{3} $$ Используем формулу тангенса суммы: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \, \alpha + \text{tg} \, \beta}{1 - \text{tg} \, \alpha \text{tg} \, \beta}$. Зная, что $\text{tg} \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$, получаем: $$ \frac{\text{tg} \, y + \text{tg} \frac{2\pi}{3}}{1 - \text{tg} \, y \cdot \text{tg} \frac{2\pi}{3}} - \text{tg} \, y = -2\sqrt{3} $$ $$ \frac{\text{tg} \, y - \sqrt{3}}{1 - \text{tg} \, y \cdot (-\sqrt{3})} - \text{tg} \, y = -2\sqrt{3} $$ $$ \frac{\text{tg} \, y - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}\text{tg} \, y} - \text{tg} \, y = -2\sqrt{3} $$

Сделаем замену $t = \text{tg} \, y$. Уравнение примет вид: $$ \frac{t - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}t} - t = -2\sqrt{3} $$ При условии $1 + \sqrt{3}t \neq 0$, умножим обе части на знаменатель: $$ t - \sqrt{3} - t(1 + \sqrt{3}t) = -2\sqrt{3}(1 + \sqrt{3}t) $$ $$ t - \sqrt{3} - t - \sqrt{3}t^2 = -2\sqrt{3} - 6t $$ $$ -\sqrt{3} - \sqrt{3}t^2 = -2\sqrt{3} - 6t $$ Перенесем все члены в левую часть: $$ \sqrt{3}t^2 - 6t - \sqrt{3} = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $$ D = (-6)^2 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 36 + 12 = 48 $$ Корни уравнения: $$ t = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2\sqrt{3}} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \pm 2 $$ Получаем два значения для $t$: $t_1 = \sqrt{3} + 2$ и $t_2 = \sqrt{3} - 2$.

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\text{tg} \, y = \sqrt{3} + 2 = 2 + \sqrt{3}$.
Этому значению тангенса соответствует угол $y = \text{arctg}(2+\sqrt{3}) + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $x = y + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} + \pi n = \frac{5\pi + 8\pi}{12} + \pi n = \frac{13\pi}{12} + \pi n$.
Получаем первую серию решений: $(\frac{13\pi}{12} + \pi n, \frac{5\pi}{12} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\text{tg} \, y = \sqrt{3} - 2$.
Этому значению тангенса соответствует угол $y = \text{arctg}(\sqrt{3}-2) + \pi n = -\frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $x = y + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} + \pi n = \frac{-\pi + 8\pi}{12} + \pi n = \frac{7\pi}{12} + \pi n$.
Получаем вторую серию решений: $(\frac{7\pi}{12} + \pi n, -\frac{\pi}{12} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{13\pi}{12} + \pi n, \frac{5\pi}{12} + \pi n), (\frac{7\pi}{12} + \pi n, -\frac{\pi}{12} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6}, \\ \text{ctg} \, x \cdot \text{ctg} \, y = 1. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$ и $\sin y \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$ и $y \neq \pi n$ для любых $k, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем второе уравнение. При условии, что $\text{ctg} \, y \neq 0$ (что следует из ОДЗ), можно записать: $$ \text{ctg} \, x = \frac{1}{\text{ctg} \, y} = \text{tg} \, y $$ Запишем котангенс и тангенс через синус и косинус: $$ \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin y}{\cos y} $$ Умножим обе части на $\sin x \cos y$ (с учетом ОДЗ, эти множители не равны нулю): $$ \cos x \cos y = \sin x \sin y $$ $$ \cos x \cos y - \sin x \sin y = 0 $$ Это формула косинуса суммы: $$ \cos(x+y) = 0 $$ Отсюда получаем, что $x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь мы имеем систему двух линейных уравнений относительно $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6}, \\ x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n. \end{cases} $$

Сложим два уравнения, чтобы найти $x$: $$ (x-y) + (x+y) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n $$ $$ 2x = \frac{\pi + 3\pi}{6} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n $$ $$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} $$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $y$: $$ (x+y) - (x-y) = \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) - \frac{\pi}{6} $$ $$ 2y = \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n $$ $$ y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} $$ Полученные решения удовлетворяют ОДЗ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2})$, где $n \in \mathbb{Z}$.