Номер 32.13, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.13. Решите уравнение:

1) $3\sin x - 8\cos x = 3;$

2) $2\sin x - 5\cos x = 3.$

1) $3\sin x - 8\cos x = 3$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\sin x + b\cos x = c$. Для его решения воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой.

Пусть $t = \tan\frac{x}{2}$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Эта подстановка определена для $x \ne \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли значения $x = \pi + 2\pi k$ решениями исходного уравнения. При $x = \pi + 2\pi k$ имеем $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$. Подставим в уравнение:

$3(0) - 8(-1) = 3$

$8 = 3$

Получено неверное равенство, следовательно, $x = \pi + 2\pi k$ не являются корнями уравнения.

Теперь подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $t$ в исходное уравнение:

$3\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) - 8\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 3$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2 \ne 0$:

$6t - 8(1-t^2) = 3(1+t^2)$

$6t - 8 + 8t^2 = 3 + 3t^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$8t^2 - 3t^2 + 6t - 8 - 3 = 0$

$5t^2 + 6t - 11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Так как сумма коэффициентов $5+6-11=0$, то один из корней равен $t_1 = 1$. Второй корень найдем по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a} \implies 1 \cdot t_2 = -\frac{11}{5}$, откуда $t_2 = -\frac{11}{5}$.

Вернемся к замене:

1. Если $t=1$, то $\tan\frac{x}{2} = 1$.
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. Если $t=-\frac{11}{5}$, то $\tan\frac{x}{2} = -\frac{11}{5}$.
$\frac{x}{2} = \arctan\left(-\frac{11}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{2} = -\arctan\frac{11}{5} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -2\arctan\frac{11}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -2\arctan\frac{11}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x - 5\cos x = 3$

Решим это уравнение аналогично предыдущему, используя универсальную тригонометрическую подстановку $t = \tan\frac{x}{2}$.

Проверим, являются ли решениями значения $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. При $x = \pi + 2\pi k$ имеем $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$. Подставим в уравнение:

$2(0) - 5(-1) = 3$

$5 = 3$

Получено неверное равенство, значит, $x = \pi + 2\pi k$ не являются корнями.

Подставляем $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$:

$2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) - 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 3$

Умножим обе части на $1+t^2$:

$4t - 5(1-t^2) = 3(1+t^2)$

$4t - 5 + 5t^2 = 3 + 3t^2$

$5t^2 - 3t^2 + 4t - 5 - 3 = 0$

$2t^2 + 4t - 8 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$t^2 + 2t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

Получаем два корня: $t_1 = -1 + \sqrt{5}$ и $t_2 = -1 - \sqrt{5}$.

Возвращаемся к замене:

1. $\tan\frac{x}{2} = -1 + \sqrt{5}$
$\frac{x}{2} = \arctan(\sqrt{5}-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\arctan(\sqrt{5}-1) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\tan\frac{x}{2} = -1 - \sqrt{5}$
$\frac{x}{2} = \arctan(-1-\sqrt{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{2} = -\arctan(1+\sqrt{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = -2\arctan(1+\sqrt{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\arctan(\sqrt{5}-1) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -2\arctan(1+\sqrt{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.