Номер 32.14, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.14. Решите уравнение:

1) $3\sin x + 5\cos x = -3$;

2) $3\sqrt{3} \sin x - 5\cos x = 7$.

1) $3\sin x + 5\cos x = -3$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\sin x + b\cos x = c$. Один из методов решения таких уравнений — универсальная тригонометрическая подстановка.

Пусть $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Эта подстановка имеет ограничение: она не работает для $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2})$ не определен. Поэтому необходимо проверить, являются ли эти значения $x$ корнями исходного уравнения.

Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$3\sin \pi + 5\cos \pi = 3 \cdot 0 + 5 \cdot (-1) = -5$.

Так как $-5 \neq -3$, значения $x = \pi + 2\pi k$ не являются корнями уравнения, и мы можем без потерь корней использовать указанную подстановку.

Подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $t$ в уравнение:

$3 \left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 5 \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = -3$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда больше нуля):

$6t + 5(1-t^2) = -3(1+t^2)$

$6t + 5 - 5t^2 = -3 - 3t^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2t^2 - 6t - 8 = 0$

Разделим обе части на 2:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -4, а сумма равна 3. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Теперь вернемся к замене $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$:

1. $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 4$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} 4 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg} 4 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -1$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg} 4 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sqrt{3}\sin x - 5\cos x = 7$

Это также линейное тригонометрическое уравнение, которое можно решить с помощью универсальной тригонометрической подстановки $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$.

Сначала проверим, не являются ли корнями значения $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$3\sqrt{3}\sin \pi - 5\cos \pi = 3\sqrt{3} \cdot 0 - 5 \cdot (-1) = 5$.

Поскольку $5 \neq 7$, эти значения не являются корнями.

Выполним подстановку $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$:

$3\sqrt{3}\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) - 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 7$

Умножим обе части на $1+t^2$:

$6\sqrt{3}t - 5(1-t^2) = 7(1+t^2)$

$6\sqrt{3}t - 5 + 5t^2 = 7 + 7t^2$

Соберем все члены в одной части уравнения:

$2t^2 - 6\sqrt{3}t + 12 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$t^2 - 3\sqrt{3}t + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = (9 \cdot 3) - 24 = 27 - 24 = 3$

Корни уравнения для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{3}}{2}$

$t_1 = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$t_2 = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Теперь выполним обратную замену $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$:

1. $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 2\sqrt{3}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(2\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}(2\sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = \sqrt{3}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg}(2\sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.