Номер 32.19, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.19. Решите уравнение:

1) $2\cos^2 x + \frac{5}{4}\sin^2 2x + \sin^4 x + \cos 2x = 0;$

2) $\sin^3 x = \sin x + \cos x.$

1) $2\cos^2x + \frac{5}{4}\sin^2(2x) + \sin^4x + \cos(2x) = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами двойного угла и формулами понижения степени, чтобы выразить все тригонометрические функции через $\cos(2x)$.

Известные формулы:

• $2\cos^2x = 1 + \cos(2x)$
• $\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x)$
• $\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$, следовательно, $\sin^4x = (\frac{1 - \cos(2x)}{2})^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(1 + \cos(2x)) + \frac{5}{4}(1 - \cos^2(2x)) + \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} + \cos(2x) = 0$

Произведем замену переменной. Пусть $t = \cos(2x)$. Учитывая, что $-1 \le \cos(2x) \le 1$, имеем $-1 \le t \le 1$.

$(1 + t) + \frac{5}{4}(1 - t^2) + \frac{1 - 2t + t^2}{4} + t = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4(1 + t) + 5(1 - t^2) + (1 - 2t + t^2) + 4t = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 + 4t + 5 - 5t^2 + 1 - 2t + t^2 + 4t = 0$

$-4t^2 + 6t + 10 = 0$

Разделим уравнение на -2:

$2t^2 - 3t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Вернемся к замене $t = \cos(2x)$.

Первый корень $t_1 = 2.5$. Уравнение $\cos(2x) = 2.5$ не имеет решений, так как значение косинуса не может превышать 1.

Второй корень $t_2 = -1$. Уравнение $\cos(2x) = -1$ является частным случаем тригонометрического уравнения.

$2x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin^3x = \sin x + \cos x$

Перенесем $\sin x$ в левую часть уравнения:

$\sin^3x - \sin x = \cos x$

Вынесем $\sin x$ за скобки в левой части:

$\sin x(\sin^2x - 1) = \cos x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\sin^2x - 1 = -\cos^2x$. Подставим это в уравнение:

$\sin x(-\cos^2x) = \cos x$

$-\sin x \cos^2x = \cos x$

Перенесем все слагаемые в одну часть:

$\sin x \cos^2x + \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x(\sin x \cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\cos x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x \cos x + 1 = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\frac{1}{2}\sin(2x) + 1 = 0$

$\frac{1}{2}\sin(2x) = -1$

$\sin(2x) = -2$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является решение из первого случая.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.